matematikk.net

Hei,

Jeg sliter med å få riktig svar når jeg skal regne ut buelengden på denne vektorfunksjonen: r(t)=[-2t[sup]2[/sup] -t, 2t[sup]2[/sup] +t +3] (t=1 til t=4)
(fasit: ca 46,7)
Kunne noen vist meg hvordan jeg skal gå fram for å få det til å stemme?

legrys wrote:Hei,

Jeg sliter med å få riktig svar når jeg skal regne ut buelengden på denne vektorfunksjonen: r(t)=[-2t[sup]2[/sup] -t, 2t[sup]2[/sup] +t +3] (t=1 til t=4)
(fasit: ca 46,7)
Kunne noen vist meg hvordan jeg skal gå fram for å få det til å stemme?

[tex]L\,=\,\int_1^4sqrt{(\dot x)^2+(\dot y)^2}dt\;=\;\int_1^4sqrt{2(4t+1)^2}dt[/tex]

[tex]L\;=\;{\sqrt{2} \int_1^4(4t+1)}dt\;=\;sqrt{2}\,[2t^2+t]_1^4[/tex]

[tex]L\;=\;sqrt2 (32+4-2-1)\;=\;33sqrt2\;\approx\;46,7[/tex]

Buelengden til en parametrisert kurve er formelen:
[tex]L(a,b) = \int^{b}_a \sqrt{x^{,}_1(t)^2 + x^{,}_2(t)^2}dt[/tex]


Du har vektoren
[tex][-2t^2 - t\;,\; 2t^2+t+3][/tex]

Da kaller vi
[tex]x_1(t) = -2t^2 - t[/tex]

[tex]x_1^{,}(t) = -4t - 1[/tex]

[tex]x_2(t) = 2t^2 + t + 3[/tex]

[tex]x_2^{,}(t) = 4t + 1[/tex]

Tar de deriverte i annen, og setter inn i formelen.
Trekker sammen og endre opp med integralet:
[tex]L(1,4) = \int^{4}_1 \sqrt{32t^2+16t+2}dt[/tex]

Siden det er såpass sent, regnet jeg ikke ut integralet, men da jeg plottet det inn i Maple, ga den meg svaret:
[tex]33\sqrt{2}\;=\;46.669[/tex]

Det burde vel være hjelp nok til å klare oppgaven?

Edit: Glemte dt.

Og der kom Janhaa med en kort, elegant løsning mens jeg skrev!
Jaja...

Takk for hjelpen, begge to!

Jeg trodde det skulle bli veldig vanskelig å ta opp 3mx uten lærer men, med dette forumet går det jo greit, tar aldri lang tid før noen svarer og dere forklarer ting grundig også.