matematikk.net

Bevis ved induksjon at n^3 - n er delelig med 3 for alle naturlige tall n.


Beviser utsagnet for n = 1 :

1^3 -1 = 0 som er delelig med 3


Antar k^3 - k er delelig med 3, der n = k og k er et vilkårlig gitt naturlig tall. Må vise at utsagnet også er sant for n = k+1. Da er:

(k+1)^3 - (k+1) = (k+1) (k^2 + 2k +1) - (k+1)
= (k^3 - k) + 3(k^2 + k)


Så er jeg litt usikker. Vil den følgende konklusjonen være holdbar?

Av den induktive hypotesen er k^3 - k delelig med 3. Siden 3(k^2 +k) er en faktor av 3, er den følgelig også delelig med 3.

Ved induksjon er n^3 - n delelig med 3, for alle naturlige tall n.



Vil også være takknemmelig for kommentarer av oppsettet av beviset.

Joda. Ser fint ut det der!

La funksjonen t(n) være definert rekursivt som følgende:

t(1) = 1

t(n) = t(n-1) + n * n! , (n > 1)


Vis ved induksjon at:

t(n) = (n+1)! -1


Ser at:
t(1) = (1+1)! -1 = 1

funksjonen er riktig for n=1


Antar:
t(k+1) = t(k + 1 - 1) + (k+1) * (k+1)! (av definisjonen)
= (k+1)! - 1 + (k+1) * (k+1)! (av den induktive hypotesen)
= k! * (k+1) - 1 + (k+1) * k! * (k+1)
= k*k! + k! - 1 + k! * (k^2 + 2k +1)
= k*k! + k! - 1 + k^2 * k! +2k * k! + k!
= k! * (k^2 + 3k + 2) -1

Og da sitter jeg fast. Noen tips?

Er du ikke på plass da?

[tex]k!(k^2+3k+2)-1=k!(k+1)(k+2)-1=(k+2)!-1[/tex]

Aha. Jo jeg er vel faktisk det. Er bare litt rusten på algebra med fakultet.

Takker