matematikk.net

Hvordan gjør jeg den her?

[tex]f(x)=x^2-2x, Df=[1,-->[/tex]

Finn funksjonsuttrykket til f^-1

Fasit: f^-1(x)=1+ [symbol:rot] 1+x

(1+x) står under rottegnet)

[tex]\begin{eqnarray*} x^2 \:-\: 2x \:+\: 1 & \;=\; & 1 \:+\: f(x) \\ (x \:-\: 1)^2 & \;=\; & 1 \:+\: f(x) \\ x \:-\: 1 & \;=\; & \pm \sqrt{1 \:+\: f(x)} \\ (1) \;\;\;\;\;\;\;\; x & \;=\; & 1 \: \pm \: \sqrt{1 \:+\: f(x)} \end{eqnarray*} [/tex]

Nå vet vi at [tex]V_{f^{-1}} \:=\: D_f = [1,\rightarrow \rangle.[/tex] Dette i kombinasjon med (1) innebærer at

[tex]f^{-1}(x) \; = \; 1 \: + \: \sqrt{1 \:+\: x}.[/tex]

er det ikke like greit å si at f^-1 = 1/f, og bare si at f(x)^-1 = 1/f(x)
Eller blir det feil?

Det blir feil. f[sup]-1[/sup](x) betyr den inverse funksjonen til f. Dersom f(x) = e[sup]x[/sup] er f[sup]-1[/sup](x) = ln(x). Dersom f(x) = sin(x) er f[sup]-1[/sup](x) = sin[sup]-1[/sup](x) = arcsin(x).

Terminator wrote:er det ikke like greit å si at f^-1 = 1/f, og bare si at f(x)^-1 = 1/f(x)
Eller blir det feil?

FEIL, hvis funksjonen, f, innsettes - ses dette greit.
Solar Plexsus har beregna den omvendte funksjonen, i samsvar med fasiten.

[tex]f^{-1}\,\neq\,{1\over f}[/tex]

der f[sup] -1[/sup] er den omvendte funksjonen

MEN,

[tex](f^{-1})^,\,=\,{1\over f^{,}}[/tex]

altså den deriverte til den omvendte funksjonen er lik 1 over den deriverte av funksjonen.

----------------------------------------------------------

LØS evt oppgava slik:

[tex]x^2-2x-y=0[/tex]

bruk ABC-formelen og finn x:

[tex]x\,=\,1\pm sqrt{1+y}\;\;[/tex]):

[tex]f^{-1}(x)\,=\,1\,+\,sqrt{1+x}[/tex]