vektor regning

[sweetgirl87]

punktene A(2,1,0) og B(2,4,0) er gitt. Finn Koordinatene til C i YZ planet slik at trekanten blir likesidet.




Noen som kan vise meg denne: (1,x,x)*(-2,x,1)=4
vet at det blir -2+x^2+x=4. Men kan noen regne den ut?
Spurte om den før men fikk ikke den helt til.

[zell]

[tex]\vec{AB} = [0,3,0] \ , \ | \vec{AB} | = \sqrt {3^2} = 3[/tex]

Ser at både A og B ligger i XY-planet.

Punkt C skal ligge i YZ-planet: C(0,y,z). Vet at AC = AB = BC (i lengde).

[tex]\vec{BC} = [-2,y-4, z-0][/tex]

[tex]\vec{AC} = [-2, y-1, z-0][/tex]

[tex]\vec{BC} = 3[/tex]

[tex]|[-2, y-4, z-0]| = 3[/tex]

[tex]\sqrt {2^2 + (y-4)^2 + (z-0)^2} = 3[/tex]

[tex]\sqrt {4 + y^2 - 8y + 16 + z^2} = 3[/tex]

[tex]y^2 - 8y + z^2 + 11 = 0[/tex]

[tex]|[-2, y-1, z-0]| = 3 \ \Rightarrow \ \sqrt {4 + y^2 - 2y + 1 + z^2} = 3[/tex]

[tex]y^2 - 2y + z^2 - 4 = 0[/tex]

Da har vi to likningssett, som skal gi samme svar. Innsettingsmetoden.

[tex]z^2 = -y^2 + 2y + 4[/tex]

Setter inn i første likning:

[tex]y^2 - 8y + (-y^2 + 2y + 4) + 11 = 0 \ \Rightarrow \ -6y = -15 \ \Rightarrow \ y = \frac 52[/tex]

Setter inn verdi i siste likning:

[tex](\frac 52) ^2 - 5 + z^2 - 4 = 0 \ \Rightarrow \ z^2 = \frac {11} 4 \ \Rightarrow \ z = \pm \sqrt{\frac {11} 4} = \pm \frac {\sqrt {11}} 2[/tex]

Da får vi [tex]\vec{BC} = [-2, -\frac 32 , \frac {\sqrt {11}} 2][/tex]

Og [tex]\vec{AC} = [-2, \frac 32 , -\frac {\sqrt {11}} 2][/tex]

Koordinatene til C blir da:

[tex]\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}[/tex]

[tex]\vec{OC} = [2,1,0] + [-2, \frac 32, -\frac {\sqrt {11}} 2] = [0, \frac 52, -\frac {\sqrt {11}} 2][/tex]

Og:

[tex]\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = [2,1,0] + [0,3,0] + [-2,-\frac 32 ,\frac {\sqrt {11}} 2][/tex]

[tex]\vec{OC} = [0, \frac 52, \frac {\sqrt {11}} 2][/tex]

Punktet C har da to mulige koordinater:

[tex]C(0,\frac 52, -\frac {\sqrt{11}} 2) \ \text{og} \ C(0,\frac 52, \frac {\sqrt {11}} 2)[/tex]


-------

Du mener vel: [tex][1,x,x] \ \cdot \ [-2,x,1] = 4[/tex] ? stor forskjell på [ og (

[tex]-2 + x^2 + x = 4[/tex] Da har du et andregradsutrykk.

[tex]x^2 + x - 6 = 0[/tex]

Bruker formel: [tex]\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

Og får [tex]x = 2 \ \text{og} \ x = -3[/tex]