matematikk.net

En andregradsfunksjon som har nullpunktene 3/2 og -1 og punktet (2,3) ligger på grafen.. vi skal finne funksjonsutrykket?

Et polynom, for eksempel en andregradsfunksjon, som har p som et nullpunkt, har en faktor (x-p). Nå har du fått oppgitt to nullpunkter, og da kan du finne to faktorer, (x-p) og (x-q).

Altså kan polynomet ditt skrives y=a(x-p)(x-q). p og q kjenner du.

Siden punktet (2,3) skal passe inn, må ligninga være oppfylt når x=2 og y=3. Klarer du å løse ligninga du får da med hensyn på a? I så fall er du i mål!

En elegant metode, jeg har en annen:

Generelt uttrykk for en andregradsfunksjon:

[tex]f(x) = ax^2 + bx +c[/tex]

Vi skal altså bestemme konstantene a, b og c:

Nullpunktet [tex]x_1 = \frac32[/tex] gir likningen:

1) [tex]\qquad a\cdot (\frac32)^2 + b \cdot \frac32 + c = 0[/tex]

Nullpunktet [tex]x_2 = -1[/tex] gir likningen:

2) [tex]\qquad a\cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 0[/tex]

Punktet [tex](2,3)[/tex] gir likningen:

3) [tex]\qquad a\cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 3[/tex]

Vi har altså fått likningssettet:

[tex]\frac94 a + \frac32 b + c = 0[/tex]

[tex]a - b + c = 0[/tex]

[tex]4a + 2b + c = 3[/tex]

Som ved hjelp av lommeregneren gir:

[tex]a = 2 \ \ , \ \ b = -1 \ \ , \ \ c = -3 [/tex]

Derfor blir funksjonsuttrykket:

[tex]\underline{\underline{f(x) = 2x^2 - x - 3}}[/tex]