matematikk.net

Jeg har ett tau som er knyttet sammen. Med dette tauet skal jeg først lage et kvadrat og så en sirkel. Hvor mange % større blir arealet av sirkelen sammenlignet med arealet av kvadratet? Jeg skal legge vekt på å bruke algebra mest mulig i løsningen.

Noen som kan hjelpe meg???

1. Kall tauets lengde L.
2. Uttrykk kvadratets sidelengde s ved hjelp av L
3. Uttrykk kvadratets areal a ved hjelp av L.
4. Uttrykk sirkelens diameter D ved hjelp av L
5. finn sirkelens radius R, uttrykt ved L
6. Uttrykk sirkelens areal A ved hjelp av L
7. Beregn forholdet A/a. hvordan kan du bruke svaret her til å besvare hvor mange prosent større A er enn a?

Finner man prosenten ved å ordne dette uttrykket, eller blir det et uttrukk av prosenten?
Kan jeg sette inn ett tall for tauets lengde for å påvise prosenten?

Dette var jo en oppgave der du skulle bruke algebra mest mulig. Gjør det; det lærer du mye av!
Gå gjennom stegene 1-7 og se hva du ender opp med.

når jeg regner ut som du sa får jeg til svar:
Kvadrat= 2/16L
Sirkel = 13,56/2L

Stemmer dette?

Bra at du har forsøkt, men her har du vært unøyaktig i algebraen!

(Helt nederst sier jeg hvilke feil du har gjort)
Jeg skal vise deg hvordan vi går frem, steg for steg:

2. L er omkretsen i kvadratet!
Hvis altså s betegner sidekanten i kvadratet har vi:
L=4s, eller når vi deler hver side på 4:
[tex]s=\frac{L}{4}[/tex]
s er altså fjerdeparten av omkretsen..

3. Arealet a i kvadratet er sidekanten ganget med seg selv!
Altså:
[tex]a=s^{2}=s*s=\frac{L}{4}*\frac{L}{4}=\frac{L^{2}}{16}[/tex]

4. L er omkretsen i sirkelen!
Omkretsen i en sirkel er "pi*diameter", dvs:
[tex]L=\pi*D[/tex]
Deler vi med pi på hver side, får vi:
[tex]D=\frac{L}{\pi}[/tex]

5. Radien R er halvparten av diameteren D:
Vi får derfor:
[tex]R=\frac{D}{2}=\frac{1}{2}*D=\frac{1}{2}*\frac{L}{\pi}=\frac{L}{2\pi}[/tex]

6. Arealet av sirkelen;
[tex]A=\pi*R^{2}=\pi*R*R=\pi*\frac{L}{2\pi}*\frac{L}{2\pi}=\frac{L^{2}}{4\pi}[/tex]

7. Vi beregner A/a:
[tex]\frac{A}{a}=\frac{\frac{L^{2}}{4\pi}}{\frac{L^{2}}{16}}=\frac{L^{2}}{4\pi}*\frac{16}{L^{2}}=\frac{16*L^{2}}{4\pi*L^{2}}=\frac{4}{\pi}[/tex]
Altså har vi funnet ut at forholdet mellom sirkel-og kvadrat arealet er [tex]\frac{4}{\pi}[/tex]

Enig?

Videre:
Husk videre prosent.oppsettet:
[tex]\frac{Delen}{Hele}*100=prosenten[/tex]
Dette forteller deg hvor mange prosent delen er av "det hele". Hvordan kan du ut fra dette finne ut hvor mange prosent større "delen" er enn "det hele"?
(Hint: husk at "det hele" er hundre prosent..)



Hvilke feil gjorde du?
a) Først en bagatell, nemlig at når vi bruker 3.14 som tilnærming til pi, så er 4*3.14=12.56, og ikke 13.56, som du sa.

b) En mer alvorlig feil er at du blandet sammen [tex]L^{2}[/tex] og 2L; dette må du huske forskjellen på!!

c) En annen feil du gjorde var at du byttet om hva som var teller, og hva som var nevner i de to areal-uttrykkene.

Bortsett fra disse feilene, ser det ut som at du greit fikk til å følge oppskriften, og det er jo bra!

Nå stemte det. Sjekket med tall og fikk samme svaret. Så feilene jeg hadde gjort.

Tusen takk for hjelpa

Legg merke til at når vi regner med bokstavtall, så FORSVINNER L^2-faktoren. Dvs at forholdet mellom sirkelens areal og kvadratets areal er fullstendig UAVHENGIG av tauets lengde!!

Det er derfor du kan komme til rett svar ved å velge deg ut et tilfeldig tall for taulengden, for eksempel 20 eller 100. Resultatet blir det samme, og det er ved algebraens hjelp vi ser hvorfor dette er tilfelle.