matematikk.net

Slår til med en oppgave til med det samme.

X and Y are independent rand. var. Find the pdf for X+Y.

[tex]p_X(k) =\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} [/tex]
[tex]p_Y(k) = \frac{\mu^k}{k!} \cdot e^{-\mu} [/tex]

Z = X + Y

[tex] p_Z(z) = \sum_{all x} p_X(x) \cdot p_Y(z-x)[/tex]

[tex]p_Z(z) = \sum_{x=0}^z \frac{\lambda^x}{x!}\cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\mu^{z-x}}{{(z-x)}!} \cdot e^{-\mu}[/tex]

[tex]= \ e^{-(\lambda + \mu)} \ \sum_{x=0}^z \frac{\lambda^x}{x!} \cdot \frac{\mu^{z-x}}{(z-x)!}[/tex]

Her blir det stopp.

Her bruker vi at

[tex](\lambda+\mu)^z=\sum_{x=0}^z\frac{z!}{x!\cdot (z-x)!}\lambda^x\cdot \mu^{z-x}[/tex]

som gir at

[tex]\frac{(\lambda+\mu)^z}{z!}=\sum_{x=0}^z\frac{\lambda^x\cdot \mu^{z-x}}{x!\cdot (z-x)!}[/tex]

som igjen gir at tettheten til [tex]X+Y[/tex] blir

[tex]e^{-(\lambda+\mu)}\cdot \frac{(\lambda+\mu)^z}{z!}[/tex]

Tusen takk!
Er den summen noe man går rundt og husker, eller er det typisk å slå den opp når man ser noe slikt?

Det er forskjell på å huske formelen og å kjenne igjen situasjoner der den kommer til anvendelse. Det siste er etter mitt skjønn det viktigste. Så får man heller slå den opp.