Ei lita funksjonsoppgave
Posted: 28/03-2007 19:40
Betrakt kurven f = x[sup]2[/sup] - og anta at f har en tangent i punktet (a, b). Vis ved regning at normalen til tangenten alltid krysser f i to ulike punkter for a [symbol:ikke_lik] 0.
Page 1 of 1
Posted: 28/03-2007 20:09
Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!
Posted: 28/03-2007 20:17
Stemmer vel som geometrisk betraktning, men jeg vil ha utregninga. Er litt vrang i dag. Forøvrig ikke noe hardhaus nøtt.Magnus wrote:Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!
Posted: 28/03-2007 20:18
[tex]f(x) = x^2[/tex]
Vi vet at funksjonen har en tangent i [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], med stigningstall 2a. Da er funksjonsuttrykket for tangenten
[tex]y = 2ax - a^2[/tex]
Normalen til y vil da ha stigningstall [tex]-\frac{1}{2a}[/tex]. Normalen skal passere gjennom [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], og da blir funksjonsuttrykket for normalen
[tex]y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2}[/tex]
Denne vil passere f(x) i to punkter, som vi finner ved å løse likningen:
[tex]-\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2} = x^2[/tex]
[tex]x^2 + \left (\frac{1}{2a} \right ) x - \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = 0[/tex]
Diskriminanten til denne likningen blir
[tex]\left (\frac{1}{2a} \right )^2 + 4 \cdot \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = \frac{1}{4x^2} + 4x^2 + 2[/tex]
som opplagt er et positivt tall over hele R, altså må likningen ha to løsninger. Det betyr at normalen til tangenten skjærer grafen i to punkter.
Vi vet at funksjonen har en tangent i [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], med stigningstall 2a. Da er funksjonsuttrykket for tangenten
[tex]y = 2ax - a^2[/tex]
Normalen til y vil da ha stigningstall [tex]-\frac{1}{2a}[/tex]. Normalen skal passere gjennom [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], og da blir funksjonsuttrykket for normalen
[tex]y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2}[/tex]
Denne vil passere f(x) i to punkter, som vi finner ved å løse likningen:
[tex]-\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2} = x^2[/tex]
[tex]x^2 + \left (\frac{1}{2a} \right ) x - \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = 0[/tex]
Diskriminanten til denne likningen blir
[tex]\left (\frac{1}{2a} \right )^2 + 4 \cdot \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = \frac{1}{4x^2} + 4x^2 + 2[/tex]
som opplagt er et positivt tall over hele R, altså må likningen ha to løsninger. Det betyr at normalen til tangenten skjærer grafen i to punkter.
Posted: 28/03-2007 20:20
Flink gutt, akkurat som jeg selv løste den.
Posted: 16/04-2007 03:14
Denne fortjener en oppfølger:
Bevis at dersom p(x) er et polynom av partallig grad med positiv ledekoeffisient (koeffisient til høyeste potens av x), og [tex]p(x) - p ^{\prime \prime}(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x, er [tex]p(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x.
Bevis at dersom p(x) er et polynom av partallig grad med positiv ledekoeffisient (koeffisient til høyeste potens av x), og [tex]p(x) - p ^{\prime \prime}(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x, er [tex]p(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x.