matematikk.net

Hei. Sliter litt med å regne ut dette dobbeltintegralet [tex]$\int \int_{R} xe^{-x^{2}-y^{2}}\, dA$[/tex]. Der R er området i første kvadrant mellom x-aksen og linjen y=x. Tenkte at det var best å gjøre om til polarkoordinater slik at det ble dette dobbeltintegralen jeg skal regne ut:
[tex]$\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\infty} r^{2}cos(\theta)e^{-r^{2}}\,dr \,d\theta$[/tex]. Min teori er at det blir slik: [tex]$\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\infty} r^{2}e^{-r^{2}}\,dr$[/tex], etter å ha integrert med hensyn på [tex]\theta[/tex]. Det er her jeg står litt fast, så jeg lurte på om det var noen som hadde noen tips.

På forhånd takk.

Nå har jeg ikke prøvd å løse oppgava di, men bare sett eksplisitt på integralet. Og vær klar over at slike integral involverer error funksjonen, der:

[tex]erf(x)\,=\,{2\over sqrt {\pi}}\,\int_0^x e^{-t^2}\,{\rm dt}[/tex]

derfor vha Wolfram og Integrator blir:

[tex]I\,=\,\int x^2e^{-x^2}\,{\rm dx}\,=\,{1\over 4}{sqrt\pi} \, {erf(x)} \,-\,{1\over 2}xe^{-x^2}\,+\,C[/tex]

Takk for svaret. Da får jeg lese meg opp litt på error funksjonen og se om jeg skjønner noe mer.

Hmm.. Tror ikke du skal trenge error function her.. Men jeg har ikke tid til å se på dette nuh.

Husk at:
[tex]\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}[/tex]

arildno wrote:Husk at:
[tex]\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}[/tex]

Stemmer d, var en eller anna sammenheng jeg ikke huska i farta. Gjelder fra null (nederste grense) til uendelig som øverste grense, ellers er der erf(x) igjen, eller hur...

err-funksjonen er litt "morsom" på den måten at vi ikke kan evaluere den eksakt på noen ikk-null, endelig verdi, men kan evaluere den eksakt "ved uendelig".

Bruk delvis integrasjon med [tex]u = r[/tex] og [tex]v^{\prime}= re^{-r^2}[/tex] på integralet

[tex]\int_0^{\infty} r^2 \, e^{-r^2} \, dr \;=\; \Big[(r) \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2})\Big]_0^{\infty} \;-\; \int_0^{\infty} 1 \cdot (- \frac{e^{-r^2}}{2}) \, dr \;=\; \frac{1}{2} \, \int_0^{\infty} e^{-r^2} \, dr \;=\; \frac{\sqrt{\pi}}{4}[/tex]

ettersom

[tex]\lim_{r \rightarrow \infty} \, r \cdot e^{-r^2} \;=\; 0[/tex] (kan f.eks. vises vha. L' Hopitals regel)

Herav følger at dobbeltintegralet forenkles til

[tex]\frac{\sqrt{\pi}}{4} \, \int_0^{\pi/4} \cos \theta \, d\theta \;=\; \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{\pi}{2}}.[/tex]

Takk for svaret. Tror jeg skjønte det meste nå.