matematikk.net

Kan noen hjelp meg med denne?

Finn y som en funksjon av x når:

y'-y=2

Takk på forhånd.

[tex]y^\prime - y = 2[/tex]

Vi multipliserer med [tex]e^{-x}[/tex] på begge sider

[tex](e^{-x}) \cdot y^\prime - (e^{-x}) \cdot y = 2e^{-x}[/tex]

[tex]-(e^{-x}) \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]

[tex](e^{-x})^\prime \cdot y + (e^{-x}) \cdot y^\prime = 2e^{-x}[/tex]

Vi gjenkjenner produktsetningen på venstresiden.

[tex]((e^{-x})\cdot y)^\prime = 2e^{-x}[/tex]

[tex](e^{-x}) \cdot y = -2e^{-x} + C[/tex]

Multipliserer med [tex]e^{x}[/tex] på begge sider.

[tex]y = -2 + C \cdot e^{x}[/tex]

Sånn

[tex]y= -2 +Ce^x[/tex]

Fasit er korrekt.

Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:

[tex]e^{-x}y = -2e^{-x} + C[/tex]

Så er vi i mål med noen få trekk.

Takk til begge

Gjør denne oppgava jeg også, dels for å vise at de kan løses på forskjellige måter og for å friske opp selv (alt for mye går i glemmeboka).

[tex]y^,\,-\,y\,=\,2\;\;(*)[/tex]

setter [tex]\;y\,=\,u\cdot v\;\;(**)[/tex]

der[tex]\;\;y^,\,=\,u^,\cdot v\,+\,u\cdot v^,[/tex]

deretter:[tex]\;u^,\cdot v\,-\,u\cdot v\,=\,0\,[/tex]

[tex]\,\,\text {slik at}:\;u^,\,=\,u\;\;[/tex]

løser denne:[tex]\;{du\over dx}\,=\,u,\;\;{du\over u}\,=\,dx,\;\;\ln(u)\,=\,x,\,\,u\,=\,e^x[/tex]

Så har vi:[tex]\;\;u\cdot v^,\,=\,e^xv^,=\,2,\;\;\;v^,\,=\,2e^{-x}\,[/tex]

[tex]v\,=\,-2e^{-x}\,+\,C[/tex]

sett til slutt u og v inn i (**):

[tex]y\,=\,e^{x}\cdot (-2e^{-x}\,+\,C)\,=\, -2\,+\,Ce^x[/tex]

Ser at denne ikke fortoner seg særlig enklere...,men det var jo ikke meninga.

Magnus wrote:Fasit er korrekt.

Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:

[tex]\frac {e^{-x}y^2}{2} = -2e^{-x} + C[/tex]

Så er vi i mål med noen få trekk.

Nå skal jeg ikke skrike så mye ut om det, men det var egentlig min første differensiallikning.
Skjønte ikke helt den overgangen din der, lyst til å vise den en gang skikkelig til ære for meg?

sEirik wrote:

Magnus wrote:Fasit er korrekt.

Helt riktig fram til produktsetningen. Du må integrere begge sider, noe som gir deg:

[tex]\frac {e^{-x}y^2}{2} = -2e^{-x} + C[/tex]

Så er vi i mål med noen få trekk.

Nå skal jeg ikke skrike så mye ut om det, men det var egentlig min første differensiallikning.
Skjønte ikke helt den overgangen din der, lyst til å vise den en gang skikkelig til ære for meg?

Jeg kan betrygge deg med at det som stod der ikke bør gi mening for noen. Får bare beklage dette.

Vel, som nevnt har du regnet korrekt frem til produktsetningen. Istedenfor å derivere her integrerer du. Vi har at:

[tex](e^{-x}\cdot y)^\prime = 2e^{-x}[/tex]

"Ganger" med dx på begge sider og integrerer:

[tex]\int (e^{-x}\cdot y)^\prime {\rm{d}}x = 2\cdot \int e^{-x} {\rm d}x[/tex]

Hvilket gir oss:

[tex]e^{-x}\cdot y = -2e^{-x} + C[/tex]

[tex]y = -2 + e^x \cdot C[/tex]