matematikk.net

Oppgave 11c) side 56 i Kalkulus (TL).

Vi vet at

[tex]P = \sum_{\text{(k er et partall)}}\ {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}[/tex]

[tex]Q = \sum_{\text{(k er et oddetall)}}\ {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}[/tex]

Og k skal være et tall mellom 0 og n. Det skal vises at

[tex]P-Q = (1-2p)^n[/tex]

Noen som klarer å trikse til det? (P og Q er forresten sannsynligheter, slik at P + Q = 1)

Vel,det kan vel gjøres noe a la dette:

[tex]P-Q=\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-p)^k(1-p)^{n-k}[/tex]

for da får vi negativt fortegn for odde [tex]k[/tex] og positivt for partalls [tex]k[/tex].


Hvis vi nå bruker binomialformelen


[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k} a^k b^{n-k}[/tex]

med [tex]a=-p[/tex] og [tex]b=1-p[/tex], følger

[tex]P-Q=(1-2p)^n[/tex]

Glupt!