matematikk.net

2xy + x^2y' =0

vis at den er eksakt og finn løsning på implisitt form.

Deretter vis at ytan x - y' = 0 er ikke eksakt og finn intererende faktor

Homer wrote:2xy + x^2y' =0
vis at den er eksakt og finn løsning på implisitt form.

Antar dette betyr å løse diff. likningen på vanlig måte.
1)
[tex]2xy\,+\,x^2y^,\,=\,0[/tex]

ordner opp og rydder etc:

[tex]2\int {{\rm dx}\over x}\,+\,\int {{\rm dy}\over y}\,=\,0[/tex]

[tex]2\ln(x)\,+\,\ln(y)\,=\,0[/tex]

[tex]\ln(y)\,=\,\ln(x^{-2})[/tex]

[tex]y(x)\,=\,y\,=\,C\cdot x^{-2}[/tex]


2)
[tex]y\tan(x)\,-\,y^,\,=\,0[/tex]

er ikke helt sikker på hva det menes med at den ikke er eksakt.
Jeg løste den på "vanlig måte" og fikk:

[tex]y(x)\,=\,y\,=\,{C\over \cos(x)}[/tex]

Disse to likningene kan omskrives til

[tex](1) \;\;\; 2xy \, dx \:+\: x^2 \, dy \;=\; 0[/tex]

og

[tex](2) \;\;\; y \, \tan x \, dx \:-\: dy \;=\; 0.[/tex]

En ordinær førsteordens differensiallikning

[tex]p(x,y) \, dx \:+\: q(x,y) \, dy \;=\; 0[/tex]

sies å være eksakt hvis [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x.

I (1) er p(x,y)=2xy og q(x,y)=x[sup]2[/sup], noe som gir [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 2x, dvs. at (1) er eksakt.

I (2) er [tex]p(x,y) = y\tan \, x[/tex] og [tex]q(x,y) = -1[/tex] som medfører at [symbol:diff]p/[symbol:diff]y =[tex] \tan \, x[/tex] og [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 0. M.a.o. er (2) ikke eksakt.