matematikk.net

Heihei alle barn. På hytten i påsken kom vi over en litt stygg mattenøtt vi ikke fikk knekt. Den lyder som følger:

I et kron og mynt spill skal velge mellom kron og mynt. Gjetter man rett får man lov til å fortsette og gevinsten vil bli høyere. Gjetter man rett første gang men feil på neste vinner man 1 kr. Gjetter man rett to ganger på rad men så feil får man 2 kroner. Tre ganger på rad blir så 4kr, fire ganger gir en gevinst på 8kr osv. med 16, 32, 64 og oppover. Det er ingen risiko i å gå videre, tipper man feil får man uansett det beløpet man har kommet til.

Hvor mye vil man i gjennomsnitt vinne pr "omgang" i dette "spillet"? Eller sagt på en mer naturlig måte, hva måtte inngangsbetalingen for å delta i spillet vært for at huset skulle gått i 0 (ikke tjent noe, ikke tapt noe) over tid?

Sannsynligheten for å tippe riktig n ganger på rad er [tex]\frac{1}{2^n}[/tex].

La X være antall ganger du vinner. Forventningsverdien til X er da

[tex]E(X) = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{1}{2^k} = 2[/tex]

Siden du kan forvente å få i gjennomsnitt 2 riktige på rad, må innsatsen være 2 kr.

Hmm, kan du forklare svaret ditt litt nærmere?

Har brukt litt statistikk (3MX) for å vise det.
Gjennomsnittlig antall riktige tippinger på hvert forsøk er det samme som forventningsverdien til X.
For å tippe riktig n ganger er sannsynligheten [tex]\left (\frac{1}{2} \right )^n = \frac{1}{2^n}[/tex].

Husk at gjennomsnittlig antall tippinger på x forsøk er summen av antall riktige etter x forsøk, delt på x.

Antall 1-ere er da lik [tex]1 \cdot P(X = 1)[/tex]. Antall 2-ere er lik [tex]2 \cdot P(X = 2)[/tex] osv. Disse legger vi sammen , og får E(X).

Hmm, har ikke helt tid til å sette meg inn i det der atm men vil ikke dette motbevise det?:

La oss si du har et lignende spill som det der bare at i dette spillet kan man max vinne 8 ganger på rad (128 i max gevinst), dette spillet må jo ha en mindre gjennomsnittsgevinst en det som det er snakk om i OP.

Hvis vi tenker oss at vi setter opp en tabell i følgende stil(husker ikke navnet på den typen tabeller/diagrammer):
Grenene på venstre side er når man gjetter feil og høyre side er når man gjetter riktig. Tallene er samlet gevinst så langt. Legg merke til at jeg later som om man fortsetter å flippe mynten etter man har tapt men de kastene har ingenting å si.

Hvis vi later som om vi tegner denne vil det føre til at den nederste linjen består av:
128 nullere
64 enere
32 toere
16 firere
8 åttere
4 16'ere
2 32'er
1 64'er
1 128'er
256 mulige utfall.

Summen av av alle disse blir 576. Hvis du deler dette på antall mulige utfall får du en gjennomsnittelig gevinst på 2.25.

Men dette spillet burde jo ha hatt en mindre gjennomsnittelig gevinst enn det som ble beskrevet i OP?

Hm, ja 2.25 hørtes ut som noe vi også kom fram til ved simulering. Lagde et lite program som spilte dette spillet 10 millioner ganger og fikk en forventet gevinst på rundt 2.25-2.30. Vi antok at dette brute force svaret er sånn ca rett, men lurer fælt på mattematikken som ligger bak.

sEirik wrote:Sannsynligheten for å tippe riktig n ganger på rad er [tex]\frac{1}{2^n}[/tex].

La X være antall ganger du vinner. Forventningsverdien til X er da

[tex]E(X) = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{1}{2^k} = 2[/tex]

Siden du kan forvente å få i gjennomsnitt 2 riktige på rad, må innsatsen være 2 kr.

Dette argumentet stemmer ikke. Riktignok er forventet antall riktige gjetninger 2, men dette kan ikke brukes til å finne forventet utbetaling. Vi kan illustrere det slik: Ta for deg samme spill som nevnt over, og tenk deg at du får 1 kr for 1 riktig gjetning, 2 kr for 2 riktige, og 10[sup]99[/sup] kr for 3 eller flere. Hva er forventet, gjennomsnittlig utbetaling?

For å finne forventningsverdien til utbetalingen U, må du bruke at den tilsvarer
[tex]E(U) = \sum p(X=i)U_i[/tex]

og som vi vet, er [tex]X \sim {\rm Geo}(0.5)[/tex] og [tex]U_i = 2^i[/tex]

Flader wrote:Hm, ja 2.25 hørtes ut som noe vi også kom fram til ved simulering. Lagde et lite program som spilte dette spillet 10 millioner ganger og fikk en forventet gevinst på rundt 2.25-2.30. Vi antok at dette brute force svaret er sånn ca rett, men lurer fælt på mattematikken som ligger bak.

Problemet er at 2.25 var den gjennomsnittelige gevinsten hvis man kunne vinne max 8 ganger på rad. Hvis man gjør det samme utregningen og sier at man kan vinne 9 ganger på rad blir snittet 2.5. (10 ganger blir det 2.75, 11 ganger blir 3 etc.)