matematikk.net

Løs rekursjonslikningen

t(n) = 5t(n - 1) + 6t(n-2), n[tex]\geq[/tex]3

med initialbetingelser t(1) = 1 og t(2) = 3

Dette er en del av en obligatorisk oppgave, så jeg ønsker IKKE en fasit, men heller noen tips på hvordan jeg skal gå frem.


Regner ut for et representabelt utvalg av n

t(3) = 21
t(4) = 123
t(5) = 741
t(6) = 4443
t(7) = 26661


Er det noen bestemt fremgangsmåte jeg kan bruke, eller er det bare litt prøv og feil her?

Prøv med løsninger på formen
[tex]t(n)=r^n[/tex] og sett inn i rekursjonslikningen.
Da vil du finne en andregradslikning i [tex]r[/tex] (den karakteristiske likningen) som du må løse.

fish wrote:Prøv med løsninger på formen
[tex]t(n)=r^n[/tex] og sett inn i rekursjonslikningen.
Da vil du finne en andregradslikning i [tex]r[/tex] (den karakteristiske likningen) som du må løse.

Bare en litem bump her. Jeg forstår hvordan jeg skal løse oppgaven, men jeg sliter litt med å komme frem til en enklere likning, til tross for forklaringen over. Lurer på om noen orker å prøve en gang til

Skriver den litt om jeg

[tex]a_{n+2}= 5a_{n+1} + 6a_{n}\ ,\ n \ge 3[/tex]

[tex]a_{n+2} - 5a_{n+1} - 6a_{n} = 0[/tex]

Den karakteristiske likningen for relasjonen er

[tex]r^2 - 5r - 6 = 0[/tex]

[tex]r = 6 \ \vee \ r = -1[/tex]

Altså får du som generell løsning

[tex]a_n = C \cdot 6^n + D \cdot (-1)^n[/tex]

Med initialbetingelsene [tex]a_1 = 1,\ a_2 = 3[/tex]

[tex]a_1 =1 = 6C - D[/tex]

[tex]a_2 = 3 = 36C + D[/tex]

[tex]D = 6C-1[/tex]

[tex]36C + 6C - 1 = 3[/tex]

[tex]C = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}[/tex]

[tex]D = 6 \cdot \frac{2}{21} - \frac{21}{21} = -\frac{9}{21} = -\frac{3}{7}[/tex]

Den spesielle løsningen blir da

[tex]a_n = \frac{2}{21} \cdot 6^n - \frac{3}{7} \cdot (-1)^n[/tex]

Aha, ja da er jeg med. Takker både fish og sEirik for god hjelp og snarlig respons!