matematikk.net

P(z) er et polynom med røtter r1, r2,... rn, og koeffisienter an, a(n-1), ..., a1, a0. Vi skal finne en formel for koeffisient a(i), gitt ved i og røttene til polynomet. (Dette er oppgave nr. 16b seksjon 3.5 i Kalkulus)
Noen som har noen idéer?

Har du f.eks gjort det for polynomer av grad 2 og grad 3 ?

Skal skrive hva jeg har kommet frem til så langt. (Hadde ganske dårlig tid i stad)

Vi vet at vi kan skrive polynomet som [tex]P(z) = (z - r_1)(z - r_2)... (z - r_n)[/tex]

a) Man skal vise at

[tex]a_0 = (-1)^n \cdot r_1 r_2 ... r_n[/tex] og [tex]a_{n-1} = -(r_1 + r_2 + ... + r_n)[/tex]

Det første:

Når vi multipliserer ut disse parantesene vil vi få [tex]a_0[/tex] når vi multipliserer ledd fra hver parantes slik at vi ikke får med noen z. Da må [tex]a_0[/tex] være produktet av konstantene, altså

[tex]a_0 = (-r_1)(-r_2)...(-r_n) = (-1)^n \cdot r_1 r_2 ... r_n[/tex]

Det andre:

[tex](n-1)[/tex]-tegradsleddet er summen av de leddene vi får når vi multipliserer ut parantesene slik at vi har med ett konstantledd og resten z-er. Dette gir da

[tex]a_{n-1} = (-r_1)+(-r_2)+...+(-r_n) = -(r_1 + r_2 + ... + r_n)[/tex]

b) Man skal finne en generell formel for [tex]a_i[/tex] tilsvarende formlene over.

Vi vet at vi får i-tegradsleddet ved å multiplisere ut alle konbinasjoner og beholde de der vi har i antall z-er. Det betyr at vi får

[tex]a_1 = (-r_\cdot)(-r_\cdot)...(-r_\cdot) + (-r_\cdot)(-r_\cdot)...(-r_\cdot) + ...[/tex]

[tex]a_1 = (-1)^{n-i} \cdot \left ((r_\cdot)(r_\cdot)...(r_\cdot)+(r_\cdot)(r_\cdot)...(r_\cdot) \right )[/tex]

Der det er med n-i faktorer i hvert ledd i summen. Så skal summen bestå av alle mulige kombinasjoner av faktorene [tex]r_1, r_2, ..., r_n[/tex]. Vi vet at det blir [tex]n \choose i[/tex] ledd, siden vi i hvert ledd skal velge [tex]n-i[/tex] av [tex]i[/tex] røtter å bruke som faktorer.

Her stoppet det for meg.

Dette er vel Girard og Newtons identiteter...