matematikk.net

Gitt funksjonen f(x,y) = ln(x^2 + y^2 + 1) definert for alle x og y

a) Forklar at f(x,y) er større enn eller lik 0 for alle (x,y)

b) Hva blir funksjonens minimum?

c) Har funksjonen noe maksimum?

Har fasitsvarene, men det hjelper så lite når jeg ikke skjønner åssen de har regnet det ut...

a) Når f(x,y) er større enn eller lik 0 er det fordi [tex]x^2 + y^2 + 1[/tex] er større enn eller lik 1. (Dette følger av elementær logaritmeregning)
Og siden et kvadrat alltid er positivt (vi regner vel med reelle tall her), så er [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] positive hver for seg, og da er opplagt [tex]x^2 + y^2 \ge 0[/tex], og dermed [tex]x^2 + y^2 + 1 \ge 1[/tex]

b) Funksjonen har selvfølgelig minimum når [tex]x^2 + y^2 + 1[/tex] har minimum, og dette må jo nødvendigvis være når kvadratene har minimum, altså når [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] er lik 0. Dette er jo i punktet (0,0).

c) Funksjonen kan ikke ha noe maksimum, siden kvadratene [tex]x^2[/tex] og [tex]y^2[/tex] vokser over alle grenser når x og y vokser.