matematikk.net

a) Fullfør uttrykkene slik at de blir fullstendige kvadrater

1) x^2 -4x

2) y^2 -6y

b) Gitt funksjonen f(x,y) =x^2 + y^2 -4x -6y +15
Bruk resultatet fra oppgave a og vis at funksjonen har et minimumspunkt. Finn dette og den tilsvarende funksjonsverdien.

Nok en gang har jeg fasitsvarene, men heller ikke nå skjønner jeg helt hvorfor det blir sånn...

a) Se på hva som står foran førstegradsleddet.
1) Her ser du det står -4.
Del det på 2.
Kvadrer det du får.
Det er dette som skal være førstegradsleddet

[tex]x^2 - 4x + \left ( \frac{-4}{2} \right )^2 - \left ( \frac{-4}{2} \right )^2[/tex]

[tex](x - 2)^2 - 4[/tex]

2) Her ser du det står -6. halvparten blir da -3, og kvadratet av dette igjen er 9. Så vi legger til og fjerner 9:

[tex]y^2 - 6y = y^2 - 6y + 9 - 9 = (y-3)^2 - 9[/tex]

Du kan skrive

[tex]f(x,y) = (x-2)^2 - 4 + (y-3)^2 - 9 + 15 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + 2[/tex]

Og det er vel opplagt at denne funksjonen har bunnpunkt når de kvadratene har bunnpunkt (altså når de er lik 0), og det er når (x,y) = (2,3).