matematikk.net

Hei. Har en oppgave her jeg ikke klarer å løse, så hadde vært veldig kjekt med litt hjelp!

Oppgaven

Vi har et gitt et rett firkantet prisme hvor den ene siden i grunnflaten er x cm lang. Summen av sidene i grunnflaten er 24cm og høyden er 2x. Tegn figur!

a) Finn et utrykk for volumet av prismet som en funksjon av x.
Beregn den x-verdi som gir størst volum. Beregn også dette volum.


Jeg fikk at x=6, 2x=12 og da V=6^2*12=432. Men så skjønner jeg ikke oppgaven med å utlede en funksjon for dette. Eneste jeg kommer frem til er V=x^2*2x

Hjelp!

Etter du har tegnet prismen tegner du at 2 sider av grunnflaten har side x. De andre sidene kan du kalle s. Alle sidene i grunnflaten er 24 cm. Dette gir deg formelen:

[tex] 2x + 2s = 24 [/tex]

Du vet at: [tex]Volum = Grunnflate \cdot h \theta yde[/tex]

og at: [tex]Grunnflate = x \cdot s[/tex]

og: [tex]H \theta yde = 2x[/tex]

Da får du formelen for Volum: [tex] V(x) = (2x) \cdot x \cdot s[/tex]

Da må du finne et utrykk for s

Som sagt:

[tex] 2x + 2s = 24 [/tex]

Da blir:

[tex] 2s = 24 - 2x[/tex]

[tex] s = 12 - x[/tex]

Så plotter du s verdien i formelen for Volum:

[tex]V(x) = (2x) \cdot x \cdot (12 - x) = 2x^2(12-x) = 24x^2 - 2x^3[/tex]

Dette er formelen for Volum av ditt prisme. Når du vil finne ut når volumet er høyest: Så må du derivere funksjonen og finne Toppunktet

[tex]V^\prime (x) = -6x^2 + 48x[/tex]

Så finner du hvor denne funksjonen krysser x-aksen ved å bruke andregradsformelen:

[tex]x_1 = 8[/tex]
[tex]x_2 = 0[/tex]

Sett opp fortegnslinje for å finne ut hvilken x-verdi som representerer nullpunktet.

Toppunktet er 8. Det betyr at x må være 8 for at volumet skal være størst.

For å finne dette volumet plotter du inn 8 for x i formelen for volum:

[tex]V(8) = 24 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^3 = 512[/tex]

Volumet er: [tex]512 cm[/tex]

Tusen takk!