matematikk.net

Jeg sitter med en funksjon jeg skal løse, men ikke helt får til:

[tex]\displaystyle \int_{0}^1 \frac{dx}{1+x^4} = 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{9} - \frac{1}{13} + ... + \frac{(-1)^n}{4n+1}[/tex]


Jeg har funnet ut at
[tex]\displaystyle \int \frac{dx}{a^2+x^2} = sin^{(-1)}\frac{x}{a}[/tex]

men er tror ikke jeg har lov til å sette x = x^2

Noen forslag på hvordan jeg skal gjøre dette? Hvis jeg får integrert dette til en rekke kan jeg alltids bruke Abels setning til å stryke det leddet som kommer bak, men det er selve denne integreasjonen jeg har problemer med.
Er delvis integrasjon en mulighet?

Du baserer deg på rekka

[tex]\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n[/tex] der [tex]|x|<1[/tex]

Erstatt så [tex]x[/tex] med [tex]-x^4[/tex]:

[tex]\frac{1}{1+x^4}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{4n}[/tex]

Integrer denne rekka ledd for ledd fra 0 til 1, så kommer du fram. Gitt at det var det du trengte hjelp til, da.

Hvis du i tillegg trenger en eksakt verdi på integralet, kan du forsøke delbrøkoppspalting. Da får du bruk for at
[tex]x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)[/tex]

Tusen takk! Klarte oppgaven nå.

Lurte på en liten ting angående denne rekken:

[tex]\int \frac {dx}{a^2+b^2} = arcsin (\frac {x}{a})[/tex]

der en kjent og kjær sak, men kan jeg bruke den og sette [tex]x = x^2[/tex]

I så tilfelle ville jeg ha fått det opprinnelige integralet mitt til å bli [tex]arcsin (x^2)[/tex]

Nukleon wrote: Lurte på en liten ting angående denne rekken:
[tex]\int \frac {dx}{a^2+b^2} = arcsin (\frac {x}{a})[/tex]
der en kjent og kjær sak, men kan jeg bruke den og sette [tex]x = x^2[/tex]
I så tilfelle ville jeg ha fått det opprinnelige integralet mitt til å bli [tex]arcsin (x^2)[/tex]

Hva er det du mener?

[tex]\int \frac{ \rm dx}{a^2+x^2}\,=\,{1\over a}\, \arctan({x\over a})\,+\,C[/tex]

mens

[tex]\int \frac{ \rm dx}{ \sqrt{a^2-x^2}}\,=\, \arcsin({x\over a})\,+\,C[/tex]

Det er nok
[tex]\int(\frac{dx}{a^2+b^2}) = \frac{1}{a} arctan(\frac{x}{a}) + C[/tex]
jeg mener.

må ha rotet litt. Ser nå at de to formlene står rett overfor hverandre. Bra jeg fikk orden i dette

Takk Takk