matematikk.net

Hei
Denne oppg har jeg sittet lenge med, men kommer ikke til noe bra svar! Noen som kan hjelpe meg??
Takk

Luftens massetetthet avtar med høyden over havet. Vi regner med at massetettheten f(x) målt i kg/m^3 er gitt ved funksjonen

t(x)= 1,29*e^-0.000131x, der x er høuden over havet i meter.

a) vis ved intergrasjon at masen av luften i eb vertikal søyle mede tverrsnitt 1 m^2 som går fra havnivået og opp til høyden H, er gitt ved

m(H)= 9850 (1-0,999869^H)
der H er høyden i meter og m(H) er massen i kg.

b) Hva nærmer m(H) seg når H---> [symbol:uendelig]

Massetettheten av lufta er lik t(x) kg/m[sup]3[/sup] når høyden over havet er lik x meter. For å forenkle skriver vi

[tex]f(x) = c \cdot e^{ax}[/tex]
der c = 1.29 og a = -0.000131.

a) Vi tenker oss at vi deler opp luftsøylen i n små seksjoner, hver med høyde [tex]\Delta x[/tex], og lengde/bredde 1 meter. Da er volumet av hver seksjon [tex]1 \cdot 1 \cdot \Delta x = \Delta x[/tex] m[sup]3[/sup]. Vi antar at seksjon nr. n befinner seg [tex]x_n[/tex] meter over havnivå, da er massetettheten av lufta i denne seksjonen lik [tex]t(x_n)[/tex]. Massen av seksjonen er lik massetetthet multiplisert med volum, altså er massen av seksjonen lik [tex]t(x_n) \cdot \Delta x[/tex].
Den totale massen av de n seksjonene er jo lik summen av massen til hver enkelt seksjon, altså er total masse lik m(H), der

[tex]m(H) = \sum_{k=1}^n t(x_k) \cdot \Delta x[/tex]

Vi lar nå antall seksjoner gå mot uendelig for å få regnet ut massen av luftsøylen nøyaktig. Da er

[tex]m(H) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n t(x_k) \cdot \Delta x[/tex]

Denne grenseverdien vil da gå mot integralet av t(x), med grenser 0 og H (siden vi har delt inn søylen i seksjoner fra høyde 0 til høyde H). Da er

[tex]m(H) = \int_0^H t(x) {\rm d}x[/tex]

[tex]m(H) = \int_0^H c \cdot e^{ax} {\rm d}x = \left [ \frac{c}{a} \cdot e^{ax} \right ]_0^H= \frac{c}{a} \cdot e^{aH} - \frac{c}{a} \cdot e^{0 \cdot a} = \frac{c}{a} \left ( e^{aH} - 1 \right )[/tex]

[tex]m(H) = -\frac{c}{a} \left ( 1 - (e^a)^H \right )[/tex]

[tex]-\frac{c}{a} \approx 9850[/tex], [tex]e^a \approx 0.999869[/tex]

[tex]m(H) \approx 9850 \left ( 1 - 0.999869^H \right )[/tex]

b) [tex]\lim_{H \rightarrow \infty}\ m(H) = -\frac{c}{a} \left (1 - 0 \right ) = -\frac{c}{a}\approx 9850[/tex]