matematikk.net

Hei..

Kan noen hjelpe meg med denne overgangen?

[symbol:sum] (k=0, k= [symbol:uendelig] )(k(k-1)+k) ([symbol:diff] ^k/k!)*e^- [symbol:diff] = e^- [symbol:diff] [symbol:sum] (k=2, k= [symbol:uendelig] ) [symbol:diff] ^k/(k-2)! + [symbol:diff]

takk

Du kan dele opp summen slik:

[tex]e^{-\partial}\sum_{k=2}^\infty \frac{k(k-1)\partial^k}{k!}+e^{-\partial}\sum_{k=1}^\infty \frac{k\partial^k}{k!}[/tex]
Her har jeg endret nedre summasjonsgrense siden de første to leddene faller i den første summen og det første leddet faller i den andre summen. Man kan så forkorte og få:

[tex]e^{-\partial}\sum_{k=2}^\infty \frac{\partial^k}{(k-2)!}+e^{-\partial}\sum_{k=1}^\infty \frac{\partial^k}{(k-1)!}[/tex]

som videre kan skrives

[tex]e^{-\partial}\sum_{k=2}^\infty \frac{\partial^k}{(k-2)!}+\partial e^{-\partial}\sum_{k=1}^\infty \frac{\partial^{(k-1)}}{(k-1)!}[/tex]

Den siste summen blir [tex]e^\partial[/tex] (etter definisjonen), så vi ender opp med

[tex]e^{-\partial}\sum_{k=2}^\infty \frac{\partial^k}{(k-2)!}+\partial e^{-\partial}e^\partial= e^{-\partial}\sum_{k=2}^\infty \frac{\partial^k}{(k-2)!}+\partial[/tex]