Page 1 of 1

Integrere gamma til 1?

Posted: 20/05-2007 16:44
by Zoiros
Skal vise at integrering av gamma-sannsynlighetstettheten g(t) gir 1.

[tex]g(t) = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}[/tex]

[tex]t\geq0 \text{, } \alpha>0 \text{, } \lambda>0[/tex]
(for t<0 er g(x) = 0)

Her er Gamma-funksjonen definert som

[tex]\displaystyle \Gamma(x)=\int_{0}^\infty u^{x-1}e^{-u}du \text{, }x>0[/tex]

Jeg tenkte først at jeg kunne bruke at

[tex]\frac{d}{dt}( \frac{e^{-\lambda t^\alpha}}{-\lambda} )=t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}[/tex]

men den likheten viser seg bare å være feil...

Noen gode ideer på hvordan jeg kan gå frem?

Posted: 20/05-2007 16:54
by mrcreosote
Du får

[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt[/tex]

Om du nå substituerer u=lt og bruker definisjonen din av gammafunksjonen er du straks der.

Posted: 20/05-2007 18:20
by Zoiros
Det virker veldig rett måte å gå frem.. men jeg får ikke siste lambda til å forsvinne..?

[tex]\int_0^\infty g(t) dt = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t} dt=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty (u/\lambda)^{\alpha-1}e^{-u} du[/tex]

[tex]=\frac{\lambda^\alpha}{\lambda^{\alpha-1}\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du= \frac{\lambda^\alpha \cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}}{\lambda^{\alpha-1}\cancel{\int_0^\infty u^{\alpha-1}e^{-u} du}} = \lambda[/tex]

Hva har jeg ikke tatt hensyn til?

Posted: 20/05-2007 18:23
by mrcreosote
u=lt gir du = ldt.

Posted: 20/05-2007 18:35
by Zoiros
aaa.. i c. Da faller lambdaen bort.. :) genialt.. takk