matematikk.net

[tex]U[/tex] er uniform for [tex][-1, 1][/tex]. Hva er sannsynlighetstetthetensfunksjonen for [tex]U^2[/tex]?

Tror jeg fant cdf for bare U:

[tex]F(x)=P(U\leq x)=\frac{1+x}{2}[/tex]

så tenkte jeg at:

1) [tex]P(U^2\leq x)=P(U\leq \sqrt x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}\text{ }[/tex](???)

eller kanskje

2) [tex]P(U^2\leq x)=P(U\leq \sqrt x)=\frac{1+\sqrt{x}}{2}\text{ }[/tex](???)

for så å derivere dette til tetthetsfunksjonen.. men ingen av dem gir fasitsvaret [tex]\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex] ved derivasjon

Noen gode ideer der ute?

Du gjør det nesten riktig på 2:

[tex]P(U^2\leq x) = P(-\sqrt x\leq U \leq sqrt x) = P(U\leq sqrt x) - P(U<-\sqrt x) = F(\sqrt x)-F(-\sqrt x) = \frac{1+\sqrt x}2-\frac{1-\sqrt x}2 = \sqrt x[/tex]

og da får vi

[tex] \frac{d}{dx} \sqrt x= \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

men er ikke helt sikker på den der:

[tex]P(U^2\leq x) = P(-\sqrt x\leq U \leq sqrt x)[/tex]

Har noe med at det blir en slags prabelvirkning, men klarer liksom ikke å visualisere det.

Når jeg har noe så lett som P(a<X<b) tenker jeg meg ei uendelig linje X som er på en måte grunnlinja til tetthetsfunksjonen. Denne linja deles opp alt etter a og b. Og så finner jeg arealet under grafen fra a til b. Men når U^2 blir jeg forvirra. Noen gode analogier å komme med? Eller bare hardbarka mattelogikk fungerer sikkert også.

Det er rein algebra.

[tex]U^2\leq x \Leftrightarrow-\sqrt x\leq U\leq\sqrt x[/tex]

Som du sier får vi integralet [tex]\int_{-\sqrt x}^{\sqrt x} \frac12 du[/tex] eller siden vi allerede har cdf for U F( [symbol:rot] x)-F(- [symbol:rot] x)