matematikk.net

For [tex]n \in \mathbb{N} [/tex] la P(n) være følgende påstand

[tex]\forall (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \ \exists m \in \mathbb{Z} \ \ (a^n - b^n = m(a-b))[/tex]

Vis at P(n) er sann for alle [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] ved induksjon.

(Hint: [tex] a^{k+1} -b^{k+1} = a^{k+1} - ab^k +ab^k - b^{k+1}[/tex]

For n=1 er det trivielt.

Anta så at påstanden er oppfylt for k. Videreforedling av hintet gir

[tex]a^{k+1}-b^{k+1}=a(a^k-b^k)+b^k(a-b)[/tex]

Da har vi ved induksjonsantakelsen at [tex]a^k-b^k=m_1(a-b)[/tex], slik at

[tex]a^{k+1}-b^{k+1}=am_1(a-b)+b^k(a-b)=(am_1+b^k)(a-b)[/tex]

Her blir
[tex]am_1+b^k\in \mathbb{Z}[/tex], slik at da må [tex]a^{k+1}-b^{k+1}[/tex] ha [tex]a-b[/tex] som faktor med heltallig proporsjonalitetskonstant. Ved induksjon gjelder da dette for alle [tex]n[/tex] siden vi starter riktig.