matematikk.net

Hei, trenger hjelp til følgende oppgave:
Bilde
Prøvde å løse den her på kari-oppgavedatabasen, men husker absolutt ingenting om hvordan man løste dette, og eksamen er jo ikke så alt for langt unna... Oppgaven er da å regne ut grenseverdien.. Må man sette opp et fortegnsskjema her?

Fint om noen kunne guide meg gjennom det..

Og er 1R det samme som 2MX?

I dette tilfellet er det ganske enkelt.

[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} (4x + \frac{3}{1-x})[/tex]

[tex] = 4 \cdot 0 + \frac{3}{1-0} = 3[/tex]

KjetilEn wrote:I dette tilfellet er det ganske enkelt.

[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} (4x + \frac{3}{1-x})[/tex]

[tex] = 4 \cdot 0 + \frac{3}{1-0} = 3[/tex]

Huuuum, skal man bare sette inn det x går mot, så hvis x går mot f. eks. 1 så hadde det blitt:
[tex] = 4 \cdot 1 + \frac{3}{1-1} = 4[/tex]
?

Og 1R er 2MX?

I akkurat det eksempelet du nevnte kan du ikke bare stappe rett inn, fordi nevneren blir null (og vi kan jo ikke dele på null), men generelt er det bare å stappe inn hvis det er mulig (unntak er for eksempel tilfeller der en nevner blir null eller der x går mot uendelig).

josk17 wrote:I akkurat det eksempelet du nevnte kan du ikke bare stappe rett inn, fordi nevneren blir null (og vi kan jo ikke dele på null), men generelt er det bare å stappe inn hvis det er mulig (unntak er for eksempel tilfeller der en nevner blir null eller der x går mot uendelig).

Hva må man gjøre når en nevner blir 0 da?

På videregående vil det ofte være rasjonale funksjoner av typen [tex]\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1}[/tex]. Den kan du løse ved å faktorisere annengradspolynomet og så forkorte: [tex]\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}(x+2)=1+2=3[/tex]. I tilfeller der du ikke kan forkorte kan det hende du ikke kan finne grenseverdien. Hvis du er interessert kan du lese om l'Hôpitals regel (http://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_Rule). Den er ikke pensum før på universitet (litt usikker om den er med i den nye reformen, men med den gamle er den ikke med på videregående) men er ikke så vanskelig å bruke i enkle tilfeller.

josk17 wrote:På videregående vil det ofte være rasjonale funksjoner av typen [tex]\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1}[/tex]. Den kan du løse ved å faktorisere annengradspolynomet og så forkorte: [tex]\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}(x+2)=1+2=3[/tex]. I tilfeller der du ikke kan forkorte kan det hende du ikke kan finne grenseverdien. Hvis du er interessert kan du lese om l'Hôpitals regel (http://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_Rule). Den er ikke pensum før på universitet (litt usikker om den er med i den nye reformen, men med den gamle er den ikke med på videregående) men er ikke så vanskelig å bruke i enkle tilfeller.

HUFF... hehe

Hater faktorisering, vet at logikken finnes der, men jeg ser den bare ikke.. Tror ikke jeg hadde klart å grave frem et så enkelt stykke fra stykket du satt opp. Ikke med det første hvertfall.. Hjelper når jeg ser andre gjøre det da.

Og l'Hôpitals regel tar for seg divide by zero vansekligheter?

Det er trivielt å beregne grenseverdier på [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)[/tex] når f(x) er definert i x=a.
Når f er kontinuerlig kan man bare sette inn x=a i uttrykket.


Det er verre hvis uttrykket ikke er definert når x=a.
Et typisk eksempel er hvis [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] der g(x) = 0.
Da har vi to muligheter. Hvis f(0) [symbol:ikke_lik] 0 eksisterer ikke grenseverdien, siden [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{0}[/tex]= [symbol:plussminus] [symbol:uendelig]

Hvis f(a)=0, har vi et [tex]\frac{0}{0}[/tex] uttrykk. Da kan det hende at det eksisterer en grenseverdi, men vi må bruke noen knep for å finne den. En mulighet er å forkorte brøken slik at vi ikke har et [tex]\frac{0}{0}[/tex] uttrykk.


Et kraftig verktøy er L'Hôpitals regel. (Tror det ligger utenfor penusm, men det er ikke så vanskelig)

L'Hôpitals regel for [tex]\frac{0}{0}[/tex]

Hvis [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)[/tex]= [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)[/tex] = 0 og at grenseverdien [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}[/tex] eksisterer (inkuldert [symbol:plussminus] [symbol:uendelig] ).

Da eksisterer også grenseverdien [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] , vi får

[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] = [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}[/tex]

Vet ikke om dette hjelper noe med faktoriseringen, men er logisk for meg: Hvis du prøver å stappe inn andre x-verdier i den faktoriserte versjonen (før den forkortes) så ser du at du alltid kan dele (x-1) delen med det du får i telleren så det blir 1 uansett hvilken verdi for x du stapper inn. Grenseverdier handler jo om hvordan en funksjon oppfører seg når x NÆRMER seg et punkt (som i eksempelet jeg nevnte, funksjonsverdien finnes ikke i punktet x=1, men når du stapper inn x-verdier nærmere og nærmere 1 vil funksjonsverdien nærme seg 3), så da kan du tenke deg at de vil kanselere hverandre og du vil sitte igjen med x+2.

Kan fortelle kort om l'Hôpitals regel. Hvis vi skal finne grenseverdien [tex]\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] og [tex]f(a)=g(a)=0[/tex] ELLER [tex]f(a)=g(a)=\pm\infty[/tex] sier l'Hôpitals regel at [tex]\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(a)}{g(a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\prime(x)}{g\prime(x)}[/tex]. Med ord: Hvis du skal finne en grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren blir null ELLER uendelig (både telleren og nevneren må gå mot det samme) når du stapper inn, kan du derivere telleren for seg og nevneren for seg og så stappe inn det x går mot og grenseverdien vil bli det samme. Kan brukes på den rasjonale funksjonen jeg nevnte i et tidligere innlegg:

[tex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}[/tex]. Her blir både telleren og nevneren null når vi stapper inn [tex]x=1[/tex] så vi deriverer både telleren og nevneren for seg, og da får vi:

[tex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x+1}{1}=2\cdot1+1=3[/tex], som "helt tilfeldigvis" var akkurat det samme som vi fikk da vi forkortet.

Jeg anbefaler på DET STERKESTE at du gjør oppgaver der du må faktorisere fram til du er sikker på det, men l'Hôpital kan kanskje være et nyttig hjelpemiddel en gang i blant.

EDIT: Ser KjetilEn har skrevet et innlegg om de samme, men lar mitt stå siden de er litt ulike.

Og det vil si at f'(x) og g'(x) er 0, og dermed har vi en rett linje?

I dette tilfellet ble uttrykket vi skulle finne grenseverdien til en rett linje, men det er ikke det som er poenget (jeg skal ikke begi meg inn på om det finnes noen geometriske tolkninger for uttrykk man bruker l'Hôpitals regel på, men jeg har ikke hørt om noen). Poenget er at hvis kravene til l'Hôpitals regel er oppfyllt kan du derivere telleren for seg og nevneren for seg og grenseverdien vil bli den samme når du stapper inn det x går mot. I dette tilfellet sparte det oss bare noe faktoriseringsarbeid, men det er andre tilfeller der den er ekstremt nyttig.

*Edit*


Kan også nevne at L'Hôpital gjelder for [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] uttrykk, og med litt algebra kan vi oft bruke den på [tex]1^{\infty}, 0^0, \infty^0, 0 \cdot \infty \ og \ \infty - \infty[/tex]

KjetilEn wrote:[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} (4x - \frac{3}{1-x})[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \ 4x - \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \frac{3}{1-x}[/tex]

Bruker L'Hôpitals regel og får

[tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \ 4x - \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} \frac{0}{-1}[/tex]

= 4 - 0

Kan også nevne at L'Hôpital gjelder for [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] uttrykk, og med litt algebra kan vi oft bruke den på [tex]1^{\infty}, 0^0, \infty^0, 0 \cdot \infty \ og \ \infty - \infty[/tex]

Fungerer ikke l'Hôpitals regel dårlig på den fordi bare nevneren går mot null og ikke telleren?

Jo, litt i ørska

Litt utenfor tema dette, men vil ikke starte en ny tråd.

Kan noen kjapt gå gjennom følgende for meg, deriver funksjonen:
http://www.matematikk.net/cgi-bin/mimet ... 7Bx%5E3%7D