matematikk.net

Finn tettheten til cX når X er gammafordelt. Og vis at lambda er påvirket av en slik transformasjon. Dette skal legitimere å kalle lambda et skalar parameter.

vell... jeg har klart det sånn nesten tror jeg, men en stygg "c" har rotet seg inn i svaret. Noen som ser hvorfor fasiten mener at den ikke skal være der? Uansett så er jeg enig i fasiet hvis lambda skal være påvirket som en skalar så bør ikke den c'en være i nevnern der. Her er hva jeg prøvde på:

For det første så vil vel den ekstra c-en din komme i telleren og ikke i nevneren.

Hvordan skal du så bli kvitt den? Du må huske på at gammafordelingen er en kontinuerlig fordeling, så alle punktsannsynligheter blir null.

La [tex]G(x)=F(\frac{x}{c})=P(X\leq \frac{x}{c})[/tex]

Da får vi tettheten

[tex]g(x)=\frac{dG}{dx}=\frac{dF}{du}\cdot \frac{1}{c}[/tex], der [tex]u=\frac{x}{c}[/tex].

Dette får bort den c-ene du har ekstra i telleren.

Oki.. så vi bruker kjærneregelen?

[tex]G(x)=F(\frac{x}{c})\Rightarrow G^\prime(x)=F^\prime(\frac{x}{c})=\underline{(\frac{x}{c})^\prime f(\frac x c)=\frac{1}{c}f(\frac x c)}=\text {"fasit"}[/tex]

Det stemmer!