matematikk.net

Heisann, sitter med en oppgave jeg ikke får til å stemme, det virker som om det er feil i oppgaven. Håper noen kan hjelpe meg med dette:

En konkuranse for barna kan gå ut på komme seg gjennom en ballansebane flest mulig ganger i løpet av et visst antall runder, uten å falle ned. Bestem hvor mange runder.
Antall ganger de klarer det, telles (altså telles antall runder de klarer å fullføre hele banen uten å falle ned).

Anslå en omtrentlig sannsynlighet for at ett bestemt barn kommer seg gjennom banen en gang. Hva vil denne sannsynligheten være avhengig av?

Beregn sannsynligheten for at dette barnet kommer seg gjennom banen uten å falle ned:
- ingen av rundene
- alle rundene
- noen av rundene (velg det antall ganger dere vil beregne sannsynligheten for)


Det er spesielt det siste avsnittet jeg sliter med.

Tja. Ofte bruker man eksponentiellfordeling for å bestemme levetid. Levetiden blir jo så lenge et barn klarer å holde balansen.

sanns.tetthet
[tex] f(x) = \left\{\lambda e^{-\lambda x,\text{ } x \geq0}\\{0,\text{ } x<0}[/tex]

kum.sanns.tetthet.:
[tex]F(x) = 1-e^{-\lambda x}[/tex]

Så velger du en tidsenhet, lengde eller ant runder for x og skalerer lambda. Lambda kan du skalere med å løse lambda ut fra F(x) og velge en verdi for x når du mener middelverdien finner sted (når det er 50/50 for å falle). Altså løs lambda ut av f.eks.

[tex]F(3) = 0,5 =1-e^{-\lambda 3}[/tex]
(50/50 sanns. for at et barn faller ved runde 3)

[tex]ln0,5 =-\lambda 3[/tex]

[tex]-\frac{ln0,5}{3} =\lambda[/tex]

[tex]F(x) = 1-e^{\frac{ln0,5}{3} x}= 1-(e^{ln0,5})^{\frac{x}{3}}= 1-0,5^{\frac{x}{3}}[/tex]

Sanns. for at barnet får ingen runder registrert er:
P(X<1) = F(1) = 0,2062 [symbol:tilnaermet] 0,2

Sanns. for at barnet klarer mer enn 1 runde:
P(X>1) = 1-F(1) [symbol:tilnaermet] 1- 0,2 = 0,80

Hvis f.eks det er totalt 10 runder de trenger å løpe så er sanns for at de klarer det:
P(X>10) = 1 - F(10) = 1 - 0,9007 = 0,0993 [symbol:tilnaermet] 0,1

Og f.eks. opp til 6 runder blir:
P([tex]X\leq 6[/tex]) = F(6) = 0,75

En siste kan være sanns. for at et barn faller av ved runde 4 (men nådde ikke runde 5):
P([tex]4 \leq X < 5[/tex]) = F(5)-F(4) = 0,685-0,6031 = 0,0819