matematikk.net

Hvis en funksjon kun er definert for de rasjonale tallene, for eksempel

[tex]f(x) = x^2[/tex] hvis [tex]x \in Q[/tex], ellers ikke definert

kan funksjonen da være kontinuerlig?
(Har ikke kikket på definisjonen av kontinuitet enda, men bare på den "intuitive" vi lærer på vdg)

Ja, siden den er kontinuerlig i definisjonsmengden.

Eksempelvis er [tex]\frac{1}{x}[/tex] kontinuerlig selv om det intuitivt ikke virker som den er det, fordi den ikke er definert for x=0.

Jeg mener det er rimelig opplagt at en slik funksjon ikke kan være kontinuerlig. I topologien kreves det at det inverse bildet til enhver åpen mengde er åpen, altså skal [tex]f^{-1}(A)[/tex] være åpen for alle åpne [tex]A[/tex].
Hvis vi tar [tex]f(x)=x^2[/tex] og [tex]A=\langle 0,1\rangle[/tex], får vi at [tex]f^{-1}(A)[/tex] blir alle rasjonale tall innenfor [tex]\langle -1,1\rangle\setminus \{0\}[/tex], som jo ikke er noen åpen mengde. Altså er ikke [tex]f[/tex] kontinuerlig.

Intuitivt er jo også funksjonsgrafen punktert på de irrasjonale tallene, som ligger tett i de reelle tall. Den mengden der funksjonen er udefinert har faktisk større kardinalitet enn den mengden der den er definert.

Lindstrøm gir en definisjon på kontinuelige funksjoner noe alla dette:
For enhver [tex]\epsilon>0[/tex] må det finnes en [tex]\delta>0[/tex] slik at når x og a er i definisjonsområdet og [tex]|x-a|<\delta[/tex] så er [tex]|f(x)-f(a)|<\epsilon[/tex].

KjetilEn wrote:Ja, siden den er kontinuerlig i definisjonsmengden.

Eksempelvis er [tex]\frac{1}{x}[/tex] kontinuerlig selv om det intuitivt ikke virker som den er det, fordi den ikke er definert for x=0.

Men den er nok ikke kontinuelig i 0 er den det?

Nei, den er ikke kontinuerlig i 0. Men grafen er kontinuerlig