matematikk.net

Har en oppgave her som jeg ikke kommer i mål med

Skal finne summen av potensrekken 1/(2-x)^2 når |x|<1

Noen forslag?

Jeg tipper følgende løning:

1(2-x)^2=1/4(1-(x/2))^4=1/4 [symbol:sum] (n=0, [symbol:uendelig] ) (n+1)x^2/2^n = [symbol:sum] (n=0, [symbol:uendelig] )(n+1)x^n/2^n+2 ??

Jeg forstår det sånn at du skal finne potensrekka til [tex]\frac{1}{(2-x)^2}[/tex].
Denne rekka kan finnes ved leddvis derivasjon. Vi har i første omgang
[tex]\frac{1}{2-x}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n\;\;\;\mbox{for }\left|\frac{x}{2}\right|<1[/tex]

Leddvis derivasjon av hver side gir

[tex]\frac{1}{(2-x)^2}=\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{2^{n+1}}\;\;\;\mbox{for }\left|\frac{x}{2}\right|<1[/tex]