matematikk.net

Finn integralet ved regning:

[symbol:integral] 1 / (1 + [symbol:rot]x) dx

Sliter med å finne det ubestemte integralet, help help!

[tex]I = \int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} {\rm d}x[/tex]

[tex]u = \sqrt{x}[/tex], [tex]u^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2u}[/tex]

[tex]I = \int \frac{1}{1 + u} {\rm d}x[/tex]

Utvider med 2u oppe og nede:

[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} \cdot \frac{1}{2u} {\rm d}x[/tex]

[tex]I = \int \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]

Derfra bør du klare deg?

hm. roter fælt, kunne du fullført uttrykket?

Da fortsetter vi...

[tex]I = \frac{2u}{1 + u} {\rm d}u[/tex]

Sett [tex]v = 1+u[/tex], da er [tex]v^\prime = 1[/tex]

[tex]I = \int \frac{2(v-1)}{v} {\rm d}v = \int \frac{2v - 2}{v} {\rm d}v = \int \left ( 2 - \frac{2}{v} \right ) {\rm d}v = 2v - 2\ln |v| + C[/tex]

[tex]I = 2(1 + \sqrt{x}) - 2\ln |1+\sqrt{x}| + C[/tex]

Og så trekker vi sammen konstantene og rydder opp, og får

[tex]I = 2(\sqrt{x} - \ln |1 + \sqrt{x}|) + C[/tex]

takk for hjelpen nok en gang, har ikke regnet en slik type integrasjon før, så denne utvidede substitisjon metoden var ny for meg.

Alternativ metode:

[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x[/tex]

[tex]u = 1 + \sqrt{x} \ , \ u^, = \frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]

[tex]\rm{d}x = 2\sqrt{x}\rm{d}u = 2(u-1)\rm{d}u[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u} \ \cdot \ 2(u-1)\rm{d}u[/tex]

[tex]\int \frac{2u-2}{u}\rm{d}u = \int \frac{2\cancel{u}}{\cancel{u}} - \frac{2}{u} \rm{d}u = \int 2 \rm{d}u - 2\int \frac{1}{u} \rm{d}u = 2u - 2\ln{|u|} + C[/tex]

[tex]\int \frac{1}{1+\sqrt{x}}\rm{d}x = 2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex]

Et annet spørsmål, hvordan blir: [tex]2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex] lik [tex]2(\sqrt{x} - \ln{|1+\sqrt{x}|}) + C[/tex] ?

zell wrote:Et annet spørsmål, hvordan blir: [tex]2(1+\sqrt{x}) - 2\ln{|1+\sqrt{x}|} + C[/tex] lik [tex]2(\sqrt{x} - \ln{|1+\sqrt{x}|}) + C[/tex] ?

C-en i den første likninga er ikke den samme som C-en i den andre likninga. Jeg har bare løst ut parantesen, da ble 2 med som konstant, og siden både 2 og C er konstanter, er også C+2 en konstant. Så da trakk jeg sammen disse to og kalte dem bare C.

Jeg har borti det integralet før. Bare slik:

[tex]2+2\sqrt{x}-2\ln|1+\sqrt{x}|+C=2(\sqrt{x}-\ln|1+\sqrt{x}|)+C^,[/tex]
der C ' = C + 2

Mottatt