matematikk.net

Jeg ble litt forvirret her...

En oppgave spør:

a) Vi har fått oppgitt at [tex]\lim_{x \to 2} f(x) = 3[/tex]

Må da nødvendigvis f være definert i x=2
Nei sier jeg, og det er riktig.

Hvis f er definert i x=2, må da f(2) = 3
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvis grenseverdien [tex]\lim_{x \to 2}[/tex] blir 3, og f er definert i x=2 hvorfor blir ikke f(2) = 3 da?

b) g(2) = 3
må da [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] eksistere?
Ja sier jeg, men svaret er nei, hva er grunnen?

Hvis grenseverdien eksisterer, må da [tex]\lim_{x \to 2} = 3[/tex]?
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvorfor?

En ting: En graf er vel ikke definert i et punkt hvis ikke grafen er kontinuerlig i punktet?

Jarle10 wrote:Hvis f er definert i x=2, må da f(2) = 3
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvis grenseverdien \lim_{x \to 2} blir 3, og f er definert i x=2 hvorfor blir ikke f(2) = 3 da?

Dette har med definisjon av grenseverdier å gjøre, og er ikke helt enkelt å redegjøre for hvis du kun har videregående-"definisjoner" av grenseverdier innabords.
Et "enkelt" eksempel er funksjonen
[tex]f(x) = \frac{3x - 6}{x-2} = 3[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]
[tex]f(x) = 42[/tex] hvis [tex]x = 2[/tex]

(Her går man aktivt inn og definerer funksjonsverdien for x = 2 siden den ikke dekkes av den første definisjonen.)

Intuitivt kan du tenke deg at f(x) da blir en konstant funksjon y = 3 for hele definisjonsmengden, bortsett fra i punktet x = 2, der y = 42. Husk at så lenge du nå nærmer deg x = 2, vil funksjonsverdien hele tiden være 3, altså er grenseverdien 3.

b) g(2) = 3
må da \lim_{x \to 2} g(x) eksistere?
Ja sier jeg, men svaret er nei, hva er grunnen?

Her er også svaret nei. Tenk deg at funksjonen er definert slik:

[tex]g(x) = \frac{1}{x - 2}[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]

[tex]g(x) = 3[/tex] hvis [tex]x = 2[/tex]

Du ser at g(x) går mot enten uendelig eller minus uendelig (avhengig av hvilken vei du nærmer deg fra), mens funksjonsverdien i x = 2 er veldefinert.

Hvis grenseverdien eksisterer, må da \lim_{x \to 2} = 3?
Ja sier jeg, men svaret er nei. Hvorfor?

Litt det samme som tidligere. Du kan alltids definere en konstant funksjon som er lik 5 bortsett fra i x = 2, der g(2) = 3. Da er grenseverdien fortsatt 5.

En ting: En graf er vel ikke definert i et punkt hvis ikke grafen er kontinuerlig i punktet?

En graf er definert i et punkt selv om den ikke er kontinuerlig i punktet. En "graf" er egentlig bare et synonym for "funksjon".





Litt av problemet med grenseverdier og kontinuitet på videregående er at man bygger på intuisjonen for å forstå og kunne jobbe med dem. Men faktum er at når det gjelder grenseverdier og kontinuitet så kommer intuisjonen ofte til kort. Derfor er det bedre å bare lære seg definisjonene med en gang, hvis du er interessert.

Okey, tusen takk. Nå forstår jeg det. Hadde ikke tenkt at det fantes slike funksjoner (som jeg vet er det samme som grafer ) at grenseverdien er noe annet enn funksjonsverdien.

Men i et eksempel lurer jeg litt:

[tex]g(x) = \frac{1}{x-2}[/tex] hvis [tex]x \not = 2[/tex]

[tex]g(x) = 3[/tex] [tex]x = 2[/tex]

Hva mener du her? g(x) er ikke 3, når x = 2, men du sier den er veldefinert i x=2

Det er fordi han har definert funksjonen

[tex]g(x)=\left\{ \text{\frac{1}{x-2} \ for \ x \not = 2\\ 3 \ for \ x=2} \right.[/tex]

Tegn funksjonen [tex]\frac{1}{x-2}[/tex] inn på kalkulatoren din.

Hvis vi nærmer oss 2 nedenfra går g(x) mot - [symbol:uendelig]
Hvis vi nærmer oss 2 ovenfra går g(x) mot [symbol:uendelig]

Da eksister ikke grensen [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] selv om funksjonen er definert i g(2).

"There's a delta for every epsilon" Tom Lehrers sang:
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0 ... ed&search=

02:41 .. Men anbefaler å se hele.

KjetilEn wrote:Tegn funksjonen [tex]\frac{1}{x-2}[/tex] inn på kalkulatoren din.

Hvis vi nærmer oss 2 nedenfra går g(x) mot - [symbol:uendelig]
Hvis vi nærmer oss 2 ovenfra går g(x) mot [symbol:uendelig]

Da eksister ikke grensen [tex]\lim_{x \to 2} g(x)[/tex] selv om funksjonen er definert i g(2).

Jeg vet det, men jeg forstod ikke at det var noen naturlig grunn til at funksjonen er 3, når x = 2.. Men hvis det går an å bare definere en funksjon slik så går det jo an..