matematikk.net

Hei, jeg lurer bare på en ting når man bruker definisjonen av den deriverte.. hvor forsvinner konstantledd? Jeg vet at konstantledd forsvinner når man deriverer, men hvor egentlig..? F.eks. f(x) = x^2 + 2x -5 også f(x+h)= (x+h)^2 + 2(x+h) - 5..? Er det her -5 altså konstantleddet forsvinner? Siden det ikke har noe x? Og hva gjør man så når man kommer til delta Y = f(x+h) - f(x), skal man ta med konstantleddet i f(x) da? For hvis man gjør det ender man jo opp med et ledd uten h når man skal dele delta y på delta x.. og ender til slutt opp med at konstantleddet er med i den deriverte av funksjonen, og det er jo feil... :S

Skal prøve å forklare det sånn:

Vi har en funksjon [tex]f(x)[/tex] med konstantledd [tex]a[/tex]. Da vet vi at vi kan skrive [tex]f(x)[/tex] slik: [tex]f(x) = g(x) + a[/tex], der [tex]g(x)[/tex] er det samme som [tex]f(x)[/tex], bortsett fra at konstantleddet er fjernet.
For eksempel: [tex]f(x) = x^2 - 2x + 5[/tex]
Da kan vi skrive [tex]f(x) = g(x) + 5[/tex] der [tex]g(x) = x^2 - 2x[/tex].
Når vi nå deriverer funksjonen:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex]

Vi setter inn for [tex]f(x + \Delta x)[/tex] og [tex]f(x)[/tex]:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(g(x+ \Delta x) + a) - (g(x) + a)}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{g(x+ \Delta x) - g(x) + a - a}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{g(x+ \Delta x) - g(x)}{\Delta x}[/tex]

Dette er definisjonen på [tex]g^\prime (x)[/tex]. Derfor kan vi fastslå at

[tex]f^\prime (x) = g^\prime (x)[/tex].

Så hvis f(x) har et konstantledd a, kan vi like godt fjerne konstantleddet før vi deriverer - du ser at det forsvinner i løpet av derivasjonen.

Tusen takk