Doble integraler på polar koordinater
Posted: 05/06-2007 12:34
Heisann. Sitter og stusser litt på en oppgave.
Oppgaven
Evaluer det gitte dobbeltintegralet over en disk D gitt ved
[tex]x^2 + y^2 \leq a^2[/tex] der a > 0
[tex]\iint_D (x^2 + y^2)dA[/tex]
Min besvarelse
Dette blir vel i prinsippet bare å beregne arealet for disken?
Jeg får det over på polarkoordinater.
[tex]r^2 = x^2 + y^2[/tex]
Og siden dette er en disk som går 360 grader blir:
[tex]\theta = 2\pi[/tex]
Og jeg bruker følgende:
[tex]dxdy = dA = r drd\theta[/tex]
[tex]r^2 \leq a^2 \Rightarrow r \leq a[/tex]
Jeg får da dette uttrykket:
[tex]\int^{\small2\pi}_{\small0}{d\theta}\int^{\small a}_{\small0}{r^2}dr[/tex]
Det er et enkelt integral, så jeg tar ikke med utregningen, men det gir meg svaret:
[tex]\frac{2\pi a^3}{3}[/tex]
Men det er i følge fasiten et galt svar!
Hvis jeg derimot setter opp følgende uttrykk, der jeg fortsatt går til fra 0 til a i det indre integralet, men fortsetter å bruke r^2 (som blir til r^3), så får jeg riktig svar! Jeg skjønner ikke det. Hvis r^2 <= a^2, hvorfor skal man bare gå til a?
[tex]\int^{\small2\pi}_{\small0}{d\theta}\int^{\small a}_{\small0}{r^3}dr = \frac{\pi a^4}{2}[/tex]
Oppgaven
Evaluer det gitte dobbeltintegralet over en disk D gitt ved
[tex]x^2 + y^2 \leq a^2[/tex] der a > 0
[tex]\iint_D (x^2 + y^2)dA[/tex]
Min besvarelse
Dette blir vel i prinsippet bare å beregne arealet for disken?
Jeg får det over på polarkoordinater.
[tex]r^2 = x^2 + y^2[/tex]
Og siden dette er en disk som går 360 grader blir:
[tex]\theta = 2\pi[/tex]
Og jeg bruker følgende:
[tex]dxdy = dA = r drd\theta[/tex]
[tex]r^2 \leq a^2 \Rightarrow r \leq a[/tex]
Jeg får da dette uttrykket:
[tex]\int^{\small2\pi}_{\small0}{d\theta}\int^{\small a}_{\small0}{r^2}dr[/tex]
Det er et enkelt integral, så jeg tar ikke med utregningen, men det gir meg svaret:
[tex]\frac{2\pi a^3}{3}[/tex]
Men det er i følge fasiten et galt svar!
Hvis jeg derimot setter opp følgende uttrykk, der jeg fortsatt går til fra 0 til a i det indre integralet, men fortsetter å bruke r^2 (som blir til r^3), så får jeg riktig svar! Jeg skjønner ikke det. Hvis r^2 <= a^2, hvorfor skal man bare gå til a?
[tex]\int^{\small2\pi}_{\small0}{d\theta}\int^{\small a}_{\small0}{r^3}dr = \frac{\pi a^4}{2}[/tex]
