matematikk.net

En oppgave jeg ikke får til å stemme overens med fasiten:

Et område i et koordinatsystem er avgrenset av y-aksen, linja y=k og grafen til funksjonen [tex]f(x) = \sqrt{x}[/tex]

Finn volumet at den omdreiningsgjenstanden vi får når området dreies [tex]360^\circ[/tex] om y-aksen.

Her er hva jeg har gjort:

finner grensene:

[tex]x = 0, \sqrt{x} = k, x=k^2[/tex]

Regner ut volumet for omdreiningsgjenstanden:

[tex]V=\pi \int^{k^2}_{0} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int^{k^2}_{0} x dx = \pi[\frac{x^2}{2}]^{k^2}_{0} = \frac{\pi}{2}k^4[/tex]

Fasiten er [tex]V=\frac{\pi}{5}k^5[/tex]

Jeg har helt sikkert misforstått noe grunnleggende her. Hadde satt pris på om dere ville rette det opp.

Du skal her rotere rundt y-aksen - dette integralet er gitt ved [tex]\pi \int _{y_1} ^{y_2} x^2 \rm{d} y[/tex] Vi må dermed ta for oss [tex]f^{-1}(x) = x^2[/tex] (Dette går fint, siden funksjonen er injektiv i definisjonsmengden.)

Integralet blir fra 0 til k på y-aksen, altså:

[tex]\pi \int _0 ^k (y^2)^2 \rm{d}y[/tex]

Ah! Jeg hadde oversett den delen, tusen takk. Selvfølgelig, dette kunne jeg jo