matematikk.net

Har sittet og sett litt på denne oppgaven, men sliter litt med å finne grensene.

Oppgaven
Finn volumet mellom paraboloidene:
[tex](i) \quad z = x^2 + y^2[/tex]
[tex](ii) \quad 3z = 4 - (x^2 + y^2)[/tex]

Svar
Skriver om den andre paraboloiden:
[tex]z = \frac{4}{3} - \frac{(x^2+y^2)}{3}[/tex]

I punktet (0,0) ser vi at (i) er i origo, og (ii) er i 4/3. Vi skal altså frem til volumet som ligger under (ii) og over (i). Vi tar det på polarform.
Volumet angis med:
[tex]z = \frac{4}{3} - \frac{r}{3} - r[/tex]
[tex]z = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}r[/tex]

Setter opp integralet:
[tex]\int^{2\pi}_{0}d\theta\int^{?}_{0}(\frac{4}{3} - \frac{4}{3}r)r dr[/tex]

Dette blir det korrekte integralet? Hva i granskauen er grensene til r?
Jeg klarer ikke å se det selv. . .
Det endelige svaret skal bli (2[symbol:pi])/3

Gitt:
Z[sub]i[/sub] = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup]

Z[sub]ii[/sub] = 4/3 - (1/3)r[sup]2[/sup]

Finner grensene ved: Z[sub]i[/sub] = Z[sub]ii[/sub] ): r[sup]2[/sup] = 4/3 - (1/3)r[sup]2[/sup], r = 1


[tex]Z_i\,-\,Z_{ii}={4\over 3}-{r^2\over 3}\,-\,r^2={4\over 3}-{4\over 3}r^2[/tex]

[tex]V=\int_0^{2\pi} \int_0^1 ({4\over 3}-{4\over 3}r^2 )r {\rm dr}{\rm d\theta}=\int_0^{2\pi} \int_0^1({4\over 3}r\,-\,{4\over 3}r^3){\rm dr}{\rm d\theta}[/tex]

[tex]V=2\pi [({4\over 3})\cdot ({1\over 2})r^2-({4\over 3})({1\over 4})r^4]_0^1=2\pi({2\over 3}\,-\,{1\over 3})={2\pi \over 3}[/tex]

Naturligvis! r^2. Gjør alt for mange sånne slurvefeil.

Takk for hjelpen!