Hei. Jeg varmer opp til mer matematikk med å løse noen gamle eksamensoppgaver. Nå har jeg kommet over en oppgave om maksimering som jeg ikke får til. Jeg kan lage en likning med to ukjente, men hvordan kobler jeg disse ukjente sammen så jeg får én likning?
Oppgaven lyder som følger:
Et bilde med ramme skal totalt dekke 0,6m[sup]2[/sup]. Bildet med rammen skal være rektangulært. Bredden på rammen er 6cm på høyre og venstre side. Bredden på rammen er 10cm i overkant og underkant. Arealet av bildet innenfor rammen skal gjøres størst mulig.
Bestem det største arealet av bildet innenfor rammen?
Bestemme maksimalt areal av bilde
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg vil tro et hot tips her er Lagrange multiplikatoren. Sender en link som viser ett eksempel:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... t=lagrange
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... t=lagrange
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Dette er egentlig ikke en likning med to ukjente. Siden du vet hvor stort areal bildet skal dekke kan du si Y dersom du har bestemt X.
[tex]y = \frac{0.6}{x}[/tex]
[tex]F(x) = x \cdot y \\ F(x) = 0.6[/tex]
Oppgaven løses ved å uttrykke bildets sider innenfor rammen, og sette den deriverte til null for å finne ut et toppunkt. (Merk at jeg har gjort om M til CM)
[tex]F(x) = (x - 12)(\frac{6000}{x} - 20) \\ F(x) = 6240 - 20x - \frac{72000}{x} \\ F^,(x) = \frac{72000}{x^2} - 20 \\ F^,(0) = \frac{72000}{x^2} - 20 = 60[/tex]
Det vil si at hele bildet er 60cm bredt og 1m høyt. (Tar forbehold om feil, ettersom jeg ikke har fasiten her)
[tex]y = \frac{0.6}{x}[/tex]
[tex]F(x) = x \cdot y \\ F(x) = 0.6[/tex]
Oppgaven løses ved å uttrykke bildets sider innenfor rammen, og sette den deriverte til null for å finne ut et toppunkt. (Merk at jeg har gjort om M til CM)
[tex]F(x) = (x - 12)(\frac{6000}{x} - 20) \\ F(x) = 6240 - 20x - \frac{72000}{x} \\ F^,(x) = \frac{72000}{x^2} - 20 \\ F^,(0) = \frac{72000}{x^2} - 20 = 60[/tex]
Det vil si at hele bildet er 60cm bredt og 1m høyt. (Tar forbehold om feil, ettersom jeg ikke har fasiten her)
Last edited by JonasBA on 15/08-2007 13:39, edited 1 time in total.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
La [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] være hhv. bredden og høyden i cm av bildet uten ramme. Da er arealet av bildet med ramme
[tex](x + 12)(y + 20) = 6000,[/tex]
som gir
[tex](1) \;\; y = \frac{6000}{x + 12} \:-\: 20.[/tex]
Arealet av bildet uten ramme blir dermed
[tex]xy \:=\: x (\frac{6000}{x + 12} \:-\: 20) \:=\: \frac{6000x}{x + 12} \:-\: 20x \:=\: A(x).[/tex]
Derivasjon gir
[tex]A^{\prime}(x) \:=\: \frac{72000}{(x + 12)^2} \:-\: 20.[/tex]
Eneste positive løsning av likningen [tex]A^{\prime}(x) = 0[/tex] er [tex]x = 48.[/tex] Ettersom [tex]A^{\prime}(x)<0[/tex] når [tex]x>48[/tex], må [tex]A(x)[/tex] ha en maksimalverdi for [tex]x = 48[/tex]. Så maksimalt areal har vi når [tex]x = 48[/tex] og [tex]y = 80[/tex] (fås ved å sette [tex]x=48[/tex] i (1)).
[tex](x + 12)(y + 20) = 6000,[/tex]
som gir
[tex](1) \;\; y = \frac{6000}{x + 12} \:-\: 20.[/tex]
Arealet av bildet uten ramme blir dermed
[tex]xy \:=\: x (\frac{6000}{x + 12} \:-\: 20) \:=\: \frac{6000x}{x + 12} \:-\: 20x \:=\: A(x).[/tex]
Derivasjon gir
[tex]A^{\prime}(x) \:=\: \frac{72000}{(x + 12)^2} \:-\: 20.[/tex]
Eneste positive løsning av likningen [tex]A^{\prime}(x) = 0[/tex] er [tex]x = 48.[/tex] Ettersom [tex]A^{\prime}(x)<0[/tex] når [tex]x>48[/tex], må [tex]A(x)[/tex] ha en maksimalverdi for [tex]x = 48[/tex]. Så maksimalt areal har vi når [tex]x = 48[/tex] og [tex]y = 80[/tex] (fås ved å sette [tex]x=48[/tex] i (1)).
-
*Sorcerer*
- Cantor
- Posts: 111
- Joined: 16/12-2005 21:17
@Janhaa: Denne oppgaven kan sikkert løses på den måten også, men dette er ikke flervariabel Calculus, men jeg skal huske på Lagrange multiplikatoren når jeg kommer til optimalisering med flere variable uti oktober eller no.
Jeg så nå at denne oppgaven ikke var så vanskelig likevel. Jeg hang meg sånn opp i geometrien at jeg glemte å snu på likningene. Solar Plexsus løser oppgaven på en veldig god måte.
Takk for alle innspill.
Jeg så nå at denne oppgaven ikke var så vanskelig likevel. Jeg hang meg sånn opp i geometrien at jeg glemte å snu på likningene. Solar Plexsus løser oppgaven på en veldig god måte.
Takk for alle innspill.
Usus magister est optimus