matematikk.net

Hey. Sitter her og sliter litt med et induksjonsbevis på Bernoullis ulikhet:
(1+x)^k >= 1+kx , x>=-1

Et lite stykke ut i beviset skal man vise at (1+x)^(k+1)>= 1+(k+1)x (for å vise at det er gyldig for alle verdier av k (k et naturlig tall). I beviset jeg ser på gjør de om venstresiden til 1+(k+1)x+kx^2 (som vi ser direkte er >= høyre side). Dette gjøres i ett hopp og jeg klarer ikke skjønne hva som ligger bak.

Noen som kan gi meg et hint?

(Venstre side kan også skrives som ((1+x)^k)(1+x))

I induksjonstrinnet skal du altså vise at

(1+x)^(k+1)>=1+(k+1)x

Da skriver du (1+x)^(k+1)=((1+x)^k)(1+x)

Nå bruker du induksjonshypotesen som sier at

(1+x)^k>=1+kx

Dermed er (1+x)^(k+1)>=(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx^2=1+(k+1)x+kx^2 som er større enn 1+(k+1)x

Tusen takk.

Fikk altså ikke med meg at man erstattet (1+x)^k med forutsettingen vår

For den som måtte være interessert i en algebraisk løsningsmetode:
http://realisten.com/smf/index.php?topic=414.0