matematikk.net

Fått i oppgave å bevise/forklare beviset av Pascals talltrekant, og trenger litt hjelp til å oppklare noe her.
Teorem:
[tex]\left( \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)[/tex]

Jeg skal bevise at:
[tex]\left( \begin{matrix} a+b \\ \end{matrix} \right)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)a^k b^{n-k}=\left(a+b \right)^{n-1}\cdot \left(a+b \right)[/tex]
Det jeg ikke skjønner helt er hvorfor vi får [tex]=\left(a+b \right)^{n-1}\cdot \left(a+b \right)[/tex] i slutten?

Du skal vel ikke ha (a+b) som koeffisient i summen, men (n/k) (binomialkoeffisienten "n over k")?

Jeg tror at du skal bruke at (a+b)^n=(a+b)^(n-1)*(a+b) for å vise med induksjon at (a+b)^n er lik den gitte summen.

Selvfølgelig skal det være (n over k), en skrivefeil fra min side som nå er rettet opp. Takk

Får ikke til videre, bevis er sliksom ikke min sterkeste side. Kanskje jeg skal skrive hele oppgaven, slik at det blir lettere for dere å hjelpe meg

Vi definerer binomialkoeffisientene [tex]\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right), n\in \mathbb{N}, k \in \left\{0,1,...,n\right\}[/tex] ved
(1) [tex]\left( \begin{matrix} a+b \\ \end{matrix} \right)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)a^k b^{n-k}[/tex]

Vi har formelen
(2) [tex]\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)= \frac{(n-1)...(n-k+1)} {k!}[/tex]
for k=1,...,n og [tex]\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)=1[/tex]

Oppgaven går ut på å gjøre rede for utledningen av (2) ut fra definisjonen (1). Den skal gå i tre steg.

(i) Gi definisjon av binomialkoeffisientene(den står over, så den er grei)
(ii)Formuler og bevis Pascals talltrekant
(iii) Ut fra Pascals talltrekant, gi induksjonsbevis for (2)


Definisjonen er grei, den står jo der.
Vi gikk gjennom alt dette på skolen, men jeg klarer ikke å få det til fordi jeg ikke skjønner helt hva vi har gjort. Isåfall, for å bevise Pascals talltrekant har vi teorem 1:
[tex]\left( \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)[/tex]

Vi skal bevise:
[tex]\left( \begin{matrix} a+b \\ \end{matrix} \right)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)a^k b^{n-k}=\left(a+b \right)^{n-1}\cdot \left(a+b \right)[/tex]
Dit er greit, i og med at jeg fikk svar på det med [tex]=\left(a+b \right)^{n-1}\cdot \left(a+b \right)[/tex]

Videre har vi skrevet:
[tex]\left( \begin{matrix} a+b \\ \end{matrix} \right)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)a^k b^{n-k}=\left(a+b \right)^{n-1}\cdot \left(a+b \right)[/tex]
[tex]=\left[ \sum_{j=0}^{n-1} \left( \begin{matrix} n-1 \\ j \end{matrix} \right)a^j b^{n-1-j} \right] \cdot \left(a+b \right)[/tex]
Her er et lite problem. Jeg skjønner at vi har k=j og n=n-1, men hvorfor? Skjønner ikke helt hvorfor akkurat denne formelen er med, hva den i det heletatt gjør med i utregningen?

Videre:
[tex] \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)a^k b^{n-k}= \left( \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right)a^{k-1} b^{n-k} \cdot a + \left( \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right)a^{k} b^{n-1-k} \cdot b[/tex]
Slik jeg forstår det så har jeg brukt teorem 1 for n over k, dette er greit. Videre får jeg det ikke helt til å stemme:
[tex]= \left[ \left( \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right) \right] \cdot {a^k b^{n-k}[/tex], og det er det liksom.

Hvis noen kunne gitt meg en liten forklaring på hva som er blitt gjort, så blir jeg veldig takknemlig.

----

For å få oppgaven ferdig, så har vi et teorem 2
[tex]\left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)= \frac{(n-1)...(n-k+1)} {k!}[/tex]

Nå skal vi ut fra Pascals talltrekant ved hjelp av induksjonsbevis bevise (2) som var skrevet lengre opp. Dette skjønner jeg ingenting av, så hvis noen kan hjelpe meg, så hadde jeg blitt glad.