Page 1 of 1
utledning av sin(x) derivasjon
Posted: 01/09-2007 19:14
by Mayhassen
Oppgave: Utled derivasjonsformelen for sin(x) fra definisjonen av den deriverte.
Jeg klarer ikke å se hvordan jeg skal gå på en slik oppgave, hvis det er noen som vet om det er et bra sted slike ting blir forklart er jeg også takknemlig.
Posted: 01/09-2007 19:55
by Chepe
Jeg fant dette i en bok jeg har. Skriver den inn her:
Minner om definisjonen av den deriverte:
[tex]D[y] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/tex]
Vi setter opp uttrykket for sinusfunksjonen og bruker formelen for sinus til en sum:
[tex]\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\sin (x + \Delta) x-\sin x}{\Delta x} = \frac {\sin x \cdot \cos \Delta x + \sin \Delta x \cdot \cos x - \sin x}{\Delta x}[/tex]
Vi skriver om på uttrykket og får:
[tex]\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\sin x \cdot \cos \Delta x-\sin x}{\Delta x} + \frac {\sin \Delta x \cdot \cos x}{\Delta x} [/tex]
Vi faktoriserer:
[tex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = - \frac {1-\cos \Delta x}{\Delta x} \cdot \sin x + \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} \cdot \cos x[/tex]
*Kommentar* : Her må man huske på to grenseverdier:
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \frac {\sin v}{v} = 1[/tex] og [tex]\lim_{v \rightarrow} \frac {1-\cos v}{v} = 0[/tex]
Vi lar [tex]\Delta x \rightarrow 0[/tex] og finner den deriverte av sinusfunksjonen:
[tex]D[\sin x] = \cos x[/tex]
Edit: Endret en parantes
Posted: 01/09-2007 22:22
by Mayhassen
Takker, selv om du glemte en parantes etter sin(x-dx
)-sin(x). Den forvirra meg styggmye i noen minutter
And then there where tan(x)....jippi!
Posted: 02/09-2007 00:14
by Chepe
Obs, beklager den der, har brukt litt lite tex i det siste, så det ble litt krøll...