matematikk.net

Hallo...!



Jeg driver med likninger og ulikheter i Sinus R1, og kom frem til en oppgave som jeg ønsker at dere skal hjelpe meg litt med. Oppgaven gjelder å løse likning av 3. grad(polynomdivisjon og faktorisering av den). Her er oppgaven:

Løs likningen x^3 - 2x^2 + ax + 8 = 0 når a = -4
Hvordan løser jeg denne likningen(jeg kan jo ikke polynomdividere siden jeg ikke har det siste leddet som jeg skal dividere polynomen med ). Jeg skal altså finne nullpunktene ved å gå veien om en annengradslikning(faktorisering). Er veldig takknemlig hvis dere kan hjelpe(og forklare ) hvordan man løser en slik tredjegradslikning.

Mvh
gb

[tex]x^3 - 2x^2 -4x + 8 = 0[/tex]

Kjenner du til "rational root theorem," som sier at dersom du har et polynom med heltallige koeffisienter [tex]a_nx^n + ... + a_0[/tex] vil enhver rasjonal rot av polynomet ha formen [tex]\frac{f_0}{f_n}[/tex] der [tex]f_0 | a_0[/tex] og [tex]f_n | a_n[/tex]?

Da er det bare å prøve å finne en rot som tilfredsstiller likningen, og dermed faktorisere polynomet for å få et polynom av lavere grad. Vi ser at x = 2 gir et nullpunkt. Dermed kan du faktorisere etter prøv-og-feil-metoden:

[tex]x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = (x - 2)(x^2 - 4) = (x-2)^2(x+2) = 0[/tex]

Derfra finner du lett nullpunktene.

Hvis du synes daofeishis "rational root theorem" blir litt for avansert, så kan du alltids benytte deg av en enkel huskeregel som i alle fall jeg har lært, nemlig at alle mulige heltallsløsninger av polynomet skal kunne gå opp i det siste leddet (d), som i dette tilfellet er 8.
Det gir de mulige løsningene x=+/-1, x=+/-2, x=+/-4 og x=+/-8.
Prøv deg fram og se hvilke verdier av x som gjør polynomet lik null, og så kan du bruke dette videre i en polynomdivisjon.

Men det beste er selvsagt om du skjønner metoden daofeishi har beskrevet!

Hvordan gjør man det hvis a[sub]0[/sub] = 0

f.eks. -x[sup]3[/sup] +4x[sup]2[/sup] -3x = 0

Da kan du med en gang faktorisere ut x.

[tex]-x^3+4x^2-3x = x(-x^2+4x-3) = x(3-x)(x-1)[/tex]