matematikk.net

Bare lurte på om noen kan forklare hvorfor 1/1 + 1/2 + 1/3+...+1/n+... ikke konvergerer. Leddene går jo gradvis mot null.

Rekken 1/n^0 + 1/2^1 + 1/2^2+...+1/2^(n-1)+... konvergerer, men her går leddene rasker mot null.

Dersom man tenker seg at man har 2 lengder fram til en vegg. Først går man 1 av disse lengdene. Deretter går man halvparten av gjenstående lengde, deretter halvparten av gjenstående lengde osv... Da får man rekken ovenfor, som konvergerer mot 2.

Hvorfor kan ikke samme resonnement overføres til den første rekken 1/1 + 1/2 + 1/3+...+1/n+... ?

Takker for alle svar!!!

Det er én ulempe med konvergens.
Mange felt i matematikken er greie å tilnærme seg ved hjelp av magefølelse og intuisjon - mye er opplagt. Men når du begynner å snakke om grenseverdier og konvergens og divergens, da må du forkaste intuisjonen din og stole blindt på det som kan bevises. Tror rett og slett ikke det finnes noen enkel forklaring på hvorfor 1 + 1/2 + 1/3 + ... (som kalles den harmoniske rekka) går mot uendelig. Bare godta det.

To beviser for dette:

1) [tex]\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\dots = (\frac11)+(\frac12)+(\frac13+\frac14)+(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18)+\dots\geq1+\frac12+\frac12+\dots\rightarrow\infty[/tex]

der du grupperer ledda i puljer på 1, 2, 4, 8, 16 osv.

2)
La [tex]p_n[/tex] være det n-te primtallet. Det er kjent at [tex]\sum_{n=1}^\infty p_n[/tex] divergerer. Siden [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac1{p_n} < \sum_{n=1}^\infty \frac1n[/tex] må også den harmoniske rekka divergere.