matematikk.net

Finn to rette linjer som er tangent til y=x^3 og som går i gjennom punktet (2,8).

Noen som kan hjelpe meg med å løse denne?

Gratulerer med opptak i foreningen for smør på flesk!

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=13203

Dette kan nok hjelpe deg i gang.

Først observerer vi at punktet [tex](2,8)[/tex] ligger i grafen til funksjonen [tex]f(x) = x^3 [/tex]

[tex]f(2)=2^3=8[/tex]

[tex]f^\prime(x) = 3x^2[/tex]
[tex]f^\prime(2) = 3 \cdot 2^2 = 12[/tex]

Ved ettpunktsformelen finner vi funksjonen til den første linja: [tex]y=12x-16[/tex]

Deretter lager vi en vektorfunksjon til linja mellom et punkt på grafen til punktet [tex](2,8)[/tex]

[tex]\vec{r}(x)=[x-2,x^3-8][/tex]

Stigningstallet til denne vektorfunksjonen i tangent punktet vil da være lik stigningstallet som den deriverte av funksjonen vil gi i det samme punktet.

Stigningstallet blir:

[tex]a=\frac{x^3-8}{x-2}[/tex]

[tex]a=3x^2[/tex]

[tex]\frac{x^3-8}{x-2}=3x^2[/tex]

Vi omformer og får [tex]2x^3-6x^2+8=0[/tex]

Denne tredjegradslikningen kjenner vi ett nullpunkt til fordi vi vet ett av punktene hvor tangenten går igjennom punktet [tex](2,8)[/tex], nemlig i punktet [tex](2,8)[/tex] Ved prøve ser vi at dette stemmer.

Vi vet altså at [tex](x-2)[/tex] er en faktor i tredjegradslikningen, og utfører en polynomdivisjon og får resultatet:

[tex]2x^2-2x-4[/tex]

Vi setter dette lik null og finner nullpunktene:

t[tex]=2 \vee t=-1[/tex]

Vi ser at det kun finnes to nullpunkt til tredjegradsfunksjonen fordi [tex](x-2) [/tex]er en faktor som oppstår to ganger. Den andre løsningen er da [tex]-1[/tex].

Stigningstallet i dette punktet er:

[tex]f^\prime(-1)=3[/tex]

Vi setter dette inn i ettpunktsformelen og får likningen for den andre linja:

[tex]y=3x+2[/tex]

Likningene for de to linjene som går igjennom punktet [tex](2,8)[/tex] og er en tangent for funksjonen [tex]f(x)=x^3[/tex] er altså:
[tex]y=3x+2[/tex]
og
[tex]y=12x-16[/tex]

litt rotete kanskje, men forhåpentligvis forståelig.
Kul oppgave forresten, her måtte vi kombinere derivasjon, vektorfunksjoner og polynomdivisjon. (I min utregning da, det finnes jo sikkert andre måter)

Mente ikke å ødelegge din pedagogiske rettledning mrcreosote

Hehe, går nok bra. Noen ganger lurer jeg på om jeg er for pedagogisk og kjip med hjelp. Min egen erfaring er at det jeg sjøl finner ut av og opplever (ja, opplever!) er det jeg forstår best. Andre har det kanskje annerledes. Kjør gjerne debatt.

Tror også jeg kom fram til den tredjegradslikningen, men poenget er at jeg ikke vet hvordan jeg skal løse de (og polynomdivisjon har jeg ikke lært enda); det var en liknende oppgave der det var gitt løsningsforslag og der gjorde de på akkurat samme måten som jeg; bare at de da fikk en annengradslikning.

Men takk for svar. Skal se om jeg forstår det.