matematikk.net

nytt integral jeg trenger hjelp med

[tex] I= \int \frac{dz}{1+ e^z}[/tex]

prøvde:

[tex]u=1+e^z[/tex]

[tex]\frac{du}{dz}=e^z[/tex]
[tex]\frac{du}{dz}=(u-1)[/tex]
[tex]dz=\frac{du}{(u-1)}[/tex]

[tex]I=\int \frac{du}{u(u-1)}[/tex]

hva er neste? delbrøksoppspaltning? eller finnes det bedre løsning?

[tex]u=e^z[/tex]

så ender jeg med

[tex]I= \int \frac{du}{(1+u)u}[/tex] men det er vel et fett

Jeg ville ha satsa på delbrøksoppspalting, ja!

ok takk

[tex]\frac{A}{u} + \frac{B}{u-1} = \frac{1}{u(u-1)} [/tex]

delbrøksoppspaltning gir: A=-1 B=1

[tex]I = \int \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} du[/tex]

[tex] I = ln|u-1| - ln|u| +C[/tex]

[tex] I = ln|(e^z +1)-1| - ln|e^z +1| +C[/tex]
[tex] I = lne^z - ln|e^z +1| +C[/tex]
[tex] I = z*lne - ln|e^z +1| +C[/tex]
[tex] I = z - ln|e^z +1| +C[/tex]

slik?

Ser bra ut...

Eventuelt kan du gå av skaftet slik, dersom du er forelska i hyperbolske funksjoner:

[tex]I=\int\frac{dz}{1+e^{z}}=\frac{1}{2}\int\frac{e^{-\frac{z}{2}}}{Cosh(\frac{z}{2})}dz=\frac{1}{2}\int(1-tanh(\frac{z}{2}))dz=\frac{1}{2}(z-2ln(Cosh(\frac{z}{2})))+C[/tex]
som er nesten like enkelt..

wow kan du forklare framgangsmåten din arildno?

[tex] cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} [/tex]

hva gjør du med denne? ^^

Sasha wrote:[tex] cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} [/tex]

hva gjør du med denne? ^^

Den holder meg varm om natta.

Forøvrig skylder jeg å vise at mitt uttrykk er sammenfallende med det tidligere resultatet, men nå skal jeg og Cosh til sengs.

Matte-roleplaying ftl

Jeg viser at de to anti-deriverte gitt i tråden aviker bare med en konstant slik:
[tex]\frac{1}{2}(z-2\ln(Cosh(\frac{z}{2}))+C=\frac{z}{2}-\ln(e^{\frac{z}{2}}+e^{-\frac{z}{2}})+\ln(2)+C=[/tex]
[tex]\frac{z}{2}-\ln(e^{-\frac{z}{2}}(1+e^{z}))+K=\frac{z}{2}+\frac{z}{2}-\ln(1+e^{z})+K=z-\ln(e^{z}+1)+K[/tex]
Hvor K og C er konstanter.

La z = ln(1/u - 1)