matematikk.net

Hva er galt med beviset?

Vi skal bevise at [tex]\sqrt{4}[/tex] er irrasjonell.

Anta at [tex]\sqrt{4}[/tex] er rasjonell:

Da vil det kunne uttrykkes som en nedkortet brøk:

[tex]\frac{a}{b}=\sqrt{4} \\ a^2=4b^2[/tex]

Vi ser at a er delelig på 4, så det går an å si at a=4k hvor k er et helt tall.

[tex]\frac{4k}{b}=\sqrt{4} \\ 16k^2=4b^2 \\ 4a^2=b^2[/tex]

b kan altså også deles på 4.

Dette er en motsigelse siden brøken skulle være ferdig forkortet.

[tex]\sqrt{4}[/tex] kan altså ikke skrives som brøk og er dermed irrasjonell.

Dette er akkurat samme framgangsmåte for å bevise at roten av forskjellige tall er irrasjonell. Kan noen forklare hvorfor beviset er feil?

Hvis [tex]a^2=4b^2[/tex] er det en feilslutning å si at [tex]a[/tex] må være delelig med 4. [tex]a^2[/tex] derimot...

Jeg er ikke sikker, men jeg går ut ifra at feilen ligger i antakelsen at hvis

[tex]a^2=4b^2[/tex] gir at [tex]a=4k[/tex]
Vi observer ikke at a er delelig med 4 i ligningen over, men kvadratet av a er delelig med 4. dette impliserer at a er delelig med 2.

Jeg tror det er her feilen ligger, men jeg er som sagt ikke sikker.

ser ut som jeg var litt sen...

Kunne du forklare det litt mer ?

Med dette antar vi jo at a må bestå av kvadratroten av 4, altså to. Men vi vet jo ikke om dette tallet er rasjonelt.

Ville det ikke vært det samme som å si at det er feilslutning å si at a er delelig på 3 når [tex]a^2=3b^2[/tex], men at [tex]a^2[/tex] er delelig på 3.

Kan en mulig grunn være slik:

[tex]a^2=nb^2[/tex] må a være delelig med n hvis [tex]\sqrt{n}[/tex] ikke er et helt tall. Dette finner vi ut ved å gange alle positive hele tall mellom 0 og n for å se om de gir n. Hvis ikke, er ikke [tex]\sqrt{n}[/tex] et helt tall, og kan altså ikke være en faktor i a. da må n være en faktor i a, siden vi vet at [tex]a^2[/tex] er delelig på n.

I dette tilfellet ser vi at [tex]4[/tex] kan skrives som [tex]2*2[/tex] og [tex]\sqrt{4} [/tex]kan derfor skrives som et helt tall. Vi får at hvis [tex]a^2[/tex] kan deles på 4 betyr det ikke at a kan deles på 4, men det betyr også at [tex]\sqrt{4}[/tex] ikke er irrasjonelt.

Jeg trenger et svar på dette, det plager meg litt.

Siden du veit at (a,b)=(2,1) vil oppfylle antagelsen (sjøl om du egentlig prøver å motbevise den), kan du prøve å lese gjennom beviset med disse verdiene og se hvor overgangen blir feil.

Ja, jeg skjønner jo at det er feil å anta at a er delelig med 4 når [tex]a^2[/tex] er delelig med 4. Det er jo opplagt! Men poenget er jo at man ikke vet at roten av 4 er et helt tall, og ikke kan anta med det første at roten av 4 kan være en faktor av a, for a må være et helt tall. (Du må anta at a må ha faktorer utelukkende av hele tall.)
--

La oss si at [tex]a^3=3b^2[/tex]

Vi kan ikke anta at 3 er et en faktor av a, fordi roten av 3 kan være en faktor av a. Blir ikke dette samme tankegang?

Jeg vet det høres absurdt ut, men håper dere forstår poenget mitt.

3 er et primtall.
Aritmekkens fundamentalteorem sikrer odd en unik primtallsfaktorisering av et tall.

Dette er tilstrekkelig for å vise at hvis et kvadrat av et heltall er delelig med et gitt primtall, så må tallet selv være delelig med primtallet.

4 fungerer ikke, siden det ikke er et primtall.

Meningen var å generalisere. Anta et annet tall som ikke er primtall, og ikke har heltallig rot.

Ut ifra den siste setningen din: mente du at bevisene for irrasjonaliteten av røtter av tall som ikke er primtall ikke kan bevises med samme metode som man beviser at primtall er irrasjonelle?

kan noen føre beviset på hvorfor roten av 4 eller hvilket som helst kvadrattall er rasjonale da?

kalleja wrote:kan noen føre beviset på hvorfor roten av 4 eller hvilket som helst kvadrattall er rasjonale da?

Er ikke det ganske åpenlyst? Kvadratall er jo hele tall, så det er jo bare å gange med a/a, der a et et heltall, så har du en brøk hvor teller og nevner er heltall. Mulig jeg missforsto hva du mente da...

Jeg mente slik som at når man beviser at roten av 2 er irrasjonal, så kan man anta at roten av 2 er rasjonal og se etter en motsigelse.

- Slik at du antar at roten av 4 er irrasjonal og ser etter en motsigelse. Mulig det er lett, men har ikke gjort så mange slike bevis...