matematikk.net

En liten nøtt jeg sitter og sliter med, lurte på om noen kunne gi meg en hånd.

Opggaven lyder:
10 personer skal på fest, alle må ta med seg mellom 70 og 100 kr, legg spesielt merke til at det er helt tilfeldig hvor mye hver enkelt tar med seg (alle summer er like sannsynlig). Hva er sannsynligheten for at deres totale bidrag er 900 kr eller mer?

Her kan vi bruke litt statistikk.

Vi kan si at forventningsverdien som to personer tar med seg logisk nok er 850 kroner. [tex]\mu = 10 \cdot \frac{100+70}{2}[/tex] Vi kan videre anta at standardavviket er 30 kroner.

Vi finner sannsynligheten for de tar med seg mer enn 900 kr:

[tex]P(X>900) = 1-P(X<900) = 1-\phi(1.67)=\phi(-1.67) = 0.0478[/tex]

For å støtte opp denne tankegangen gjorde jeg et lite eksperiment.
Jeg inviterte til 100 fester og... Neida, jeg lagde en liste med 100 elementer hvor hvert av elementene bestod av antall kroner som kom inn for hver "fest". Jeg la dette inn på kalkulatoren: [tex]\text{sum(seq(RandInt}(70,100),x,1,10,1))\to L_1(1)[/tex] Og gjentok dette for [tex]L_2[/tex], [tex]L_3[/tex] osv...

Dette vil gi et tilfeldig tall mellom 70 og 100, 10 ganger og summere dem. Hver slik verdi vil være et estimat for [tex]\mu[/tex]. Når det kun er 10 personer så vil ikke dette vær særlig representativt for alle mulige verdier av kroner som kan komme inn. Så det bærer få frukter å prøve å estimere sannsynligheten ut av dette. Derfor la jeg inn 100 slike verdier og fant gjennomsnittet av dem. Det vil gi et mye bedre estimat for forventningsverdien og standardavviket.

Etter det fant jeg gjennomsnittet og det empiriske standardavviket, og de lå på:

[tex]\bar{x}=852.9 \\ S=31.15[/tex]

Som du ser så ligner disse ganske mye på de tidligere antatte verdiene.

Ved samme regnemåte ble sannsynligheten for [tex]P(X>900)= 0.0650[/tex]

Vi ser at dette avviker veldig lite fra det opprinnelige sannsynligheten(avviket er 0.0172). Hvis vi hadde valgt 1000, eller 10 000 elementer og funnet gjennomsnittet hadde sannsynligheten kanskje nærmet seg det vi fant i begynnelsen.

helt sikker på at det ikke går ann å løse med noe binomisk, hypergeometrisk eller liknende (tror ikke læreren vsiktet til at vi skulle så langt utenfor pensum)

Jarle10:
Hvordan i all verden kom du frem til svaret ditt, spesielt standardavviket?
Og hvorfor kan ikke folk ha med seg 50-øringer?

Jeg tenkte følgende:

1. Vi velger å løse problemet med en kontinuerlig stokastisk variabel, istedet for en heltallig stokastisk variabel.

2. For 1 person er sannsynlighetsfordelingsfunkjonen: p(X)=0, x<70, p(X)=1/30, 70<=X<=100, p(X)=0, X>=100.

Dermed har vi [tex]\int_{-\infty}^{\infty}p(x)dx=1[/tex]

Vi får:
[tex]\mu_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx=85[/tex]
[tex]\sigma_{x}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}p(x)=75[/tex]

3. Beløpet til hver person er en stokastisk uavhengig variabel; dermed får vi at forventingsverdi&varians for "summe"-variabelen Z er:
[tex]\mu_{z}=10*\mu_{x}=850, \sigma_{z}^{2}=10*\sigm_{x}^{2}=750\to\sigma_{z}=5\sqrt{30}[/tex]

4. Vi forutsetter at Z er normalfordelt for å kunne løse oppgaven
Vi har da:
[tex]P(Z>900)=1-P(Z<900)=1-\Phi(\frac{900-850}{5\sqrt{30}})=1-\Phi(\sqrt{\frac{10}{3}})[/tex]
som kan slås opp.


Nå er mitt standardavvik ganske nær 30 (noe under!), som var ditt anslag, men hvordan kom du frem til dette tallet "på egen hånd"?

Bare interessert, må vite..

ops glemte å legge med i oppgaveteksten at man kun kunne ha med 50 øringer

Doffeo wrote:ops glemte å legge med i oppgaveteksten at man kun kunne ha med 50 øringer

Okay.

Hvis vi skal gjøre det helt diskret, så er det dermed 61 mulige verdier 1 person kan ha med seg. (70, 70.5, 71, 71.5,......99.5,100)
Hvert slikt beløp har sannsynlighet 1/61.
Forventningsverdien er 85kr.

Variansen for en person er gitt ved:
[tex]\sigma_{1}^{2}=\sum_{i=0}^{60}(70+0.5*i-85)^{2}*\frac{1}{61}=\frac{1}{61}\sum_{i=0}^{60}(0.5*i-15)^{2}[/tex]
som du alltids kan regne ut.

For ti personer vil både forventningsverdi og varians (kvadrat av standardavvik) være ti ganger større.

Regn ut disse størrelsene, og forvent at beløpsummen er normalfordelt.

Variansen for standardavviket for 1 person kan også regnes ut slik:
[tex]\sigma_{1}^{2}=(\sum_{i=0}^{60}(0.5i+70)^{2}\frac{1}{61})-85^{2}[/tex]
som gir oss:
[tex]\sigma_{1}^{2}=70^{2}-85^{2}+\frac{1}{61}\sum_{i=0}^{60}\frac{i^{2}}{4}+70i=70^{2}-85^{2}+\frac{1}{61}(\frac{60*(121)*61}{24}+\frac{70*60*61}{2})=\frac{5*121}{2}+70*30-15*155=77.5[/tex]

Legg merke til at dette er svært nær den angitte variansen for kontinuerlig variabelvalg!

Dermed er, for 10 personer:
[tex]\mu=850\sigma_{10}=\sqrt{775}=5\sqrt{31}[/tex]

Standardavviket er noe høyere for diskret stokastisk variabel versus for kontinuerlig, som er naturlig siden "sprangene" mellom lovlige verdier er mye større enn for den kontinuerlige variabelen.

Her er en fullstendig FEILAKTIG tankegang:

"Hver må i snitt ha med seg 90 kroner eller mer; derfor vil sannsynligheten for at 10 personer har med over 900kr være lik sannsynligheten for at en person har med 90 kr eller mer".

Som sagt, dette er grunnleggende FEIL tankegang, men kanskje var det dette læreren tenkte på?

Jeg har kikka på det kontinuerlige tilfellet, da viser det seg at sannsynligheten for minst 900 kroner er [tex]\frac{26749753}{793618560}[/tex], altså rasjonalt. Hvis det er interesse, legger jeg ut litt mer info.

mrcreosote wrote:Jeg har kikka på det kontinuerlige tilfellet, da viser det seg at sannsynligheten for minst 900 kroner er [tex]\frac{26749753}{793618560}[/tex], altså rasjonalt. Hvis det er interesse, legger jeg ut litt mer info.

Hæ???????

Hvordan i all verden kan det stemme?

Ja, nå kan du klø deg i balleskjegget til i morra mens du lurer for nå skal jeg legge meg.

Er det mulig mente selvfølgelig ikke mulig å bruke 50 øringer,bare hele kroner jeg er dum også da.