matematikk.net

En smittsom sykdom sprer seg i en befolkning. Av dem som er syke en uke, vil 25% forsatt være syke uken etter. sykdommen har en inkubasjonstid på to uker, og en person som var syk for to uker siden, vil i gjennomsnitt ha smittet 5/4 person som blir syk denne uken. vi lar Xn være antell personer som er syke etter n uker.

a) forklar hvorfor

Xn - 1/4Xn-1 - 5/4Xn-2 = 0

b) finn den generelle løsningen til denne differensligningen

c) Den uken sykdommen ble oppdaget, var 190 personer syke. Uken etter var 260 personer syke. Hvor mange var syke n uker etter at sykdommen ble oppdaget? (X0= 190 og X1= 260)

d) Hvordan vil det gå med antall syke etter som tiden går?

Meriam wrote:En smittsom sykdom sprer seg i en befolkning.
Xn - 1/4Xn-1 - 5/4Xn-2 = 0
b) finn den generelle løsningen til denne differensligningen
c) Den uken sykdommen ble oppdaget, var 190 personer syke. Uken etter var 260 personer syke. Hvor mange var syke n uker etter at sykdommen ble oppdaget?

Er en stund siden jeg regna på disse, men:
b)
[tex]X_n\,-\,0,25X_{n-1}\,-\,1,25X_{n-2}\,=\,0[/tex]

setter opp den karakteristiske likninga:

[tex]r^2\,-\,0,25r\,-\,1,25=0[/tex]

som gir r[sub]1[/sub] = -1 eller r[sub]2[/sub] = 1,25

generell løsning:

[tex]X_n=A(-1)^n\,+\,B\cdot 1,25^n[/tex]


c)
hmm...betyr dette?

[tex]X_0=190[/tex]
og
[tex]X_1=260[/tex]