matematikk.net

a) Vis at røttene i ligningen

z + 1/z = 2cosα

der α er et vilkårlig reelt tall, ligger på enhetssirkelen (/z/ = 1) i det kompleks plan.

b) Vis omvendt at om z er et komplekst tall på enhetssirkelen, så er z+1/z reell og -2 < eller = z+1/ z < eller = 2.

a) Sett [tex]z=re^{i\theta}[/tex].

Da er [tex]\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}[/tex].

Hvis vi bruker Eulers formel:


[tex]z+\frac{1}{z}=\left(r\cos(\theta)+\frac{1}{r}\cos(-\theta)\right)+i\left(r\sin(\theta)+\frac{1}{r}\sin(-\theta)\right)=2\cos a[/tex]

Siden høyresiden er reell, må imaginærdelen settes lik null for alle [tex]\theta[/tex]:

[tex]\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin(\theta)=0[/tex]

som gir [tex]r-\frac{1}{r}=0[/tex], med løsningen [tex]r=1[/tex] som eneste når [tex]r>0[/tex].

Altså ligger [tex]z[/tex] på enhetssirkelen.

b) La [tex]z=e^{i\theta}[/tex] representere et vilkårlig tall på enhetssirkelen og beregn [tex]z+\frac{1}{z}[/tex]. Hva finner du da?