matematikk.net

Hvis jeg deriverer [tex]f(x)=\frac{1}{1-x}[/tex] og [tex] g(x)=\frac{x}{1-x}[/tex]
får jeg i begge tilfeller [tex]\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
Kan noen forklare meg sammenhengen?

2 funksjoner som har lik derivert er like opptil en konstant. Se om du kan finne en c slik at f(x)=g(x)+c for alle x.

Skjønte ikke helt hva du mente med at de er like opptil en konstant. Hvis jeg setter opp ligningen f(x)=g(x)+c får jeg c=1 og dette er vel gjeldene for alle x, men hva er det egentlig jeg skal lære av dette? Jeg får lissom ingen "aha" opplevelse av å se på disse to funksjonene. Uansett c forandrer jo ikke den deriverte.

[tex]\frac{x}{1-x} = \frac{1}{1-x} + \frac{x-1}{1-x} = \frac{1}{1-x}-1[/tex]

Altså:

[tex]g(x) = f(x)-1[/tex]

Hva skjer så når du deriverer begge sider?

Mayhassen wrote:Uansett c forandrer jo ikke den deriverte.

Nettopp!

To funksjoner er like opptil en (additiv) konstant om vi kan få den ene fra den andre ved bare å legge til et tall, en konstant. For eksempel vil u(x)=sin x og v(x)=sin x+5 være like opptil en konstant. Du ser sikkert også at disse vil ha lik derivert. Men du ville aldri spurt om hva sammenhengen er?

Nå har du vist at f og g er like opptil en konstant og altså at f(x)=g(x)+1. Deriverer du begge sider står det nå?

Takk en (bitte)liten aha der Tror kanskje jeg gjorde det mer komplisert enn det virkelig var.

Jeg har en til her som jeg har sett litt på:
Samme type problemet på en måte for hvis jeg deriverer
[tex]s(x)=\frac{1}{2}\sin^2x+c[/tex] og [tex]r(x)=-\frac{1}{2}\cos^2x+c[/tex] får jeg også det samme; [tex]\sin x \cos x[/tex]

Hvis jeg nå skal bestemme en konstant c så gjør jeg på samme måte du sa: s(x)=r(x)+c

s(x)+r(x)=c (1)
her multipliserer jeg med 2 og benytter meg av at [tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex] og får da
1=2c -> c=1/2 (2)

Nå tar jeg en vri for å se på en sammenheng mellom konstantene:
kaller nå konstanten i s(x) for c1 og konstanten i r(x) for c2 og får:
[tex]\frac{1}{2}\sin^2x+\frac{1}{2}\cos^2x={c_2}-{c_1}[/tex]
Her blir da sammenhengen mellom de to konstantene 1/2.

Dette ser jo veldig pent ut og allting, men jeg kan jo bare velge c1=3 og c2=7 og da stemmer jo ikke det jeg nettop viste(?)

Du vil se sammenhengen mellom funksjonene hvis du benytter deg av den pytagoreiske identiteten.

[tex]\frac{1}{2}\sin^2(x) = \frac 1 2 \left( 1- \cos^2(x) \right) = -\frac 1 2 \cos^2(x) + \frac{1}{2}[/tex]

Funksjonene varierer altså kun med en konstant.

Morro morro!
Nå datt det sammen noen brikker her, ikke bare for de konstantene, men også en hel del angående sin og cos Så plutselig en ny verden åpne seg for meg nå, skulle aldri tro det kunne være gøy å regne på en lørdag..