matematikk.net

Har følgende oppgave: (oppgave 5a ++ s.181 i Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. utgave)

Xn+1 - 2Xn = 2 , X0 = 4


1: Løser først den homogene ligningen r^2 -2r = 0 og får r = 0 og 2

Dette gir Xn(homogen) = C(2^n)
For X0 = C(2^0) = 4, får jeg at C = 4

2: Partikulær løsningen setter jeg slik:

Xn(partikulær) = A ("nullte-grads" polynom) og får
(A + 1) - 2(A) = -A+1
Dette skal jo være lik 2, og jeg bestemmer dermed A = -1.


Dermed skulle en tro at:
Xn = Xn(homogen) + Xn(partikulær) = 4(2^n) - 1.

-men det står 6(2^n) - 2 i fasiten...


Skjønner ikke noe, og jeg må jo gjøre noe galt fordi neste oppgave (5b) får jeg også galt. Men der får jeg bare "homogen"-delen galt.


Håper noen kan hjelpe meg med dette innen rimelig tid (eksamen i morgen )

Hehe, flere som har eksamen i Mat-inf i morgen ja Inhomogene differensligninger er ikke akkurat min favoritt, men jeg kan forsøke.

Når du skal løse den homogene ligningen tror jeg du har gjort en liten feil, dette er en førsteordensligning, den skal derfor ikke løses ved å finne det karakteristiske polynomet, men slik:

[tex]x_{n+1} -2x_{n}= 0 \Rightarrow x_{n+1}=2x_n[/tex]
Hvis du da ser på setning 4.1.1 ser du at svaret på denne blir:
[tex]x_n = C\cdot 2^n[/tex]

Hvis vi nå går over til partikulærløsningen får vi som du sier at vi skal få et nullte-grads polynom, dvs en løsning på formen [tex]x_0 = A[/tex]

[tex]2=x_{n+1} - 2x_n = A - 2A = -A \Rightarrow A = -2 [/tex]

Dette gir oss at [tex]x_n^p = -2[/tex]

Når vi nå legger de to løsningene får vi:

[tex]x_n = -2 + C2^n[/tex]

Løser vi denne med initialbetingelsen [tex]x_0 = 4[/tex] får vi:
[tex]x_0 = 4 = -2 + C2^0 \Rightarrow C = 6[/tex]

Det endelige svaret blir dermed:

[tex]x_n = 6\cdot 2^n -2[/tex]

Fantastisk....

Skjønte jeg gjorde noe rart der ja..
Nå ser jeg mye lysere på livet


Tusen takk, og lykke til i morgen! (forstod det sånn at du også har eksamen)

Det er godt å høre! Ser litt lysere på det jeg også siden jeg nå fikk bekreftet at jeg kan løse i hvertfall noen differensligninger!

Eksamen her også ja Lykke til!

Før du tar kveld...


Kom til å lure på dette: Hvorfor er Xn+1 - 2Xn = A - 2A og ikke (A+1) - 2A?

Hjeeelp


Xn+1 = 2Xn

Da kan ikke både Xn+1 og Xn være A.. eller?

hva har jeg gått glipp av?

Antonsen wrote:Hjeeelp


Xn+1 = 2Xn

Da kan ikke både Xn+1 og Xn være A.. eller?

hva har jeg gått glipp av?

Det viktigste du må huske på er "Don't panic!

Skal prøve å gi en forklaring, men lover ikke at den blir god....

Altså, vi har ligningen [tex]x_{n+1} - 2x_n =2[/tex]

Dvs at når vi "tipper" på en løsning skal den løsningen være en konstant, A.
Vi skriver:
[tex]2 = x_{n+1} - 2x_n = A-2A[/tex] fordi n her ikke skal "settes inn" i et polynom. Hadde vi f.eks tippet på en løsning på formen An + B skulle vi ha satt [tex][A(n+1) +B] + [An +B][/tex], men siden vi her har løsningen A (uten noen -n) så får vi [tex]A - 2A[/tex]

Vet ikke om det gjorde deg så mye klokere, men er det beste jeg klarer å produsere etter en lang dag men lesing...

Hehe, ok

Er litt slæten i hodet selv også etter en laang dag.

kan kanskje bare foreløpig akseptere at det bare er sånn for akkurat den typen ligninger. Så får jeg heller skjønne det en annen dag

Det bruker å funke, og PLUTSELIG skjønner man det

Tusen takk for hjelpa i alle fall. Håper det går bra i morgen, virker som om du har rimelig kontroll i ale fall!

GL

Virker som en god taktikk, pleier å ty til den selv, forståelsen kommer som du sier ofte plutselig.

Bare hyggelig å hjelpe, er fint å repetere litt! Vil ikke si jeg har stålkontroll, men tar det som det kommer!

Jeg viser en løsning ved genererende funksjoner:


Vi er gitt systemet [tex]x_{n+1} - 2x_n = 2[/tex] der [tex]x_0 = 4[/tex]

Definer rekkens genererende funksjon g for å være:
[tex]g(s) = x_0 + x_1s + x_2s^2 + x_3s^3 + ...[/tex]

Da vet vi at
[tex]g(s) - 2sg(s) = x_0 + (x_1-2x_0)s + (x_2 - 2x_1)s^2 + ... [/tex]

Vi kan benytte oss av geometriske rekker for å skrive dette om litt:

[tex]g(s)(1-2s) = x_0 + 2(s + s^2 + ...) = 4 + \frac{2s}{1-s} = \frac{4-2s}{1-s}[/tex]

Dette gir:
[tex]g(s) = \frac{4-2s}{(1-s)(1-2s)} = \frac{6}{1-2s} - \frac{2}{1-s} \ = 6(1 + 2s + 2^2 s^2 + 2^3 s^3 + ...) - 2(1 + s + s^2 + s^3 + ...)[/tex]

Fra dette førger det direkte at
[tex]x_n = 6\cdot 2^n - 2[/tex]