matematikk.net

Skulle kanskje ha valgt snø som mediet idag, men vi tar grus for jeg liker egentlig ikke snø så godt:

Har en kjegleformet grushaug som fylles med 10ft³/s, høyden er 2x radien. Skal finne med hvor mye radien øker med når høyden er 5ft.

[tex]V=\frac 13\pi r^2 h , h=\frac 12r[/tex]

[tex]V=\frac 16\pi r^3[/tex]

Deriverer implisitt:

[tex]\frac{dV}{dt}=2\pi r^2\frac{dr}{dt}[/tex]

Er det riktig slik jeg har tenkt frem til nå?
Hvis jeg setter inn noen verdier nå får jeg:

[tex]10=2\pi\cdot 100 \frac{dr}{dt}\Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{1}{20\pi}[/tex]
Og dette samsvarer ikke med fasit er jeg redd. Skal være [tex]\frac {4}{5\pi}[/tex]

Kor e feilen?

radius = x og høyde = 2x

[tex]V={\pi \over 3}\cdot x^2\cdot (2x)=\frac{2\pi}{3}\cdot x^3[/tex]

deriverer implisitt:

[tex]V^,(t)=2\pi x^2\cdot x^,(t)[/tex]

[tex]10=2\pi \cdot (\frac{5}{2})^2\cdot x^,(t)[/tex]

[tex]x^,(t)=\frac{20}{25\pi}=\frac{4}{5\pi}\,(\text ft/s)[/tex]

Skjønner ikke hvorfor jeg skulle sette høyden til en halv radie! Står til og med r=2h i boka Takk!